Abelin ryhmäteoria

Abelin ryhmien teoria on yleisen algebran  haara , joka tutkii kommutatiivisia (Abelin) ryhmiä .

Vaikka Abelin ryhmien teoriaa voidaan pitää osana yleistä ryhmäteoriaa , kuitenkin jo sen kehityksen alkuvaiheessa (1940-1950-luvuilla) kävi selväksi, että Abelin ryhmien teorian laitteisto ja metodologia on pohjimmiltaan eroaa ryhmäteorian yleisistä keinoista, mikä johtaa teorian erottamiseen itsenäiseksi algebran haaraksi. Abelin ryhmien teorian riippumattomuus yleisen algebran puitteissa on säilynyt 2000-luvun alusta, vaikka monet algebraistit antavat sen johtuvan yleisen moduuliteorian osien lukumäärästä .

Historia

Jordania nimesi kommutatiiviset ryhmät ensimmäisen kerran Abelilaiseksi norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin mukaan, koska Abel osoitti, että polynomin juuret voidaan ilmaista radikaaleina, kun polynomin ryhmä on kommutiivinen.

Abelilaisten ryhmien systemaattinen tutkimus alkoi vasta 1900-luvulla. Ensimmäiset paperit Abelin ryhmistä ovat peräisin vuosilta 1917-1925, ja ne ovat peräisin Leviltä ( saksa:  Friedrich Wilhelm Levi ) [1] ja Pruferilta [2] [3] [4] [5] . Abelin ryhmien tutkimuksen alkuvaiheeseen kuuluvat myös Ulmin ( eng.  Helmut Ulm ) [6] [7] , Baerin ( saksan  Reinhold Baer ) [8] [9] , Pontryaginin [10] , Kuroshin [11] teokset. [12] ja Maltsev [13] .

1940-luvulla kiinnostus Abelin ryhmiä kohtaan oli vähäisempää kuin aikaisempina ja sitä seuraavina vuosina. Kuitenkin juuri tänä aikana Abelin ryhmien teoria nousi itsenäiseksi yleisen algebran haaraksi, suurelta osin Kulikovin [14] [15] teosten ansiosta .

Abelin ryhmien tutkimus eteni 1950-1970-luvuilla pääosin jaksollisten ja primääristen ryhmien alaisuudessa sekä nopeasti kehittyvän homologisen algebran ja kategorisen lähestymistavan merkittävän vaikutuksen alaisena. Tämän ajanjakson lopussa julkaistiin useita monografioita, jotka oli omistettu kokonaan Abelin ryhmille, muun muassa Kaplanskyn [16] ja Fuchsin ( Hung. Fuchs László ) [17] kirjat , lisäksi jälkimmäinen käännettiin useille kielille, kävi läpi neljä uusintapainosta (viimeinen vuonna 2015) ja sitä pidetään Abelin ryhmien teorian asiantuntijan hakuteoksena.

1970-luvun jälkipuoliskolla kiinnostus ensisijaisia ​​abelilaisia ​​ryhmiä kohtaan väheni vähitellen, mutta kiinnostus vääntövapaisiin abeliryhmiin kasvoi jyrkästi. Tämä johtuu suurelta osin ns. "poikkeavista" vääntövapaiden ryhmien suorista hajoamisista, jotka ensimmäisenä löysi Bjarni Jónsson ( Isl.  Bjarni Jónsson ) [18] [19] .

Kattavuus

Teoria on asetettu matemaattisessa aineluokituksessa toiselle tasolle koodilla 20Kosana ryhmäteoriahaaraa. Useissa viitejulkaisuissa osiossa viitataan moduuliteoriaan [20] , koska Abelin ryhmä on kokonaislukurenkaan yläpuolella oleva moduuli , mikä tarkoittaa, että yleisen moduuliteorian tulokset pätevät sille.

Teoriassa tutkitut esineiden pääluokat:

Muistiinpanot

  1. ↑ FW Levi. Abelsche Gruppen mit abzählbaren Elementen. - Leipzig: Habilitationsschrift, 1917.
  2. ↑ H. Prufer. Unendliche abelsche Gruppen von Elementen endlicher Ordnung. - Berliini, 1921. - (väitöskirja).
  3. ↑ H. Prufer. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Math. Z .. - 1923. - T. 17 . - S. 35-61 .
  4. ↑ H. Prufer. Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften, Math. Z .. - 1924. - T. 20 . - S. 165-187 .
  5. ↑ H. Prufer. Theorie der abelischen Gruppen, II, Ideale Gruppen, Math. Z .. - 1925. - T. 22 . - S. 222-249 .
  6. ↑ H. Ulm. Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen // Math. Ann .. - 1933. - T. 107 , nro 5 . - S. 774-803 .
  7. ↑ H. Ulm. Zur Theorie der nicht-abzählbaren primären Abelschen Gruppen // Math. Ztschr.. - 1935. - T. 40 , nro 2 . - S. 205-207 .
  8. ↑ R. Baer. Abelilaiset ryhmät ilman rajallisen järjestyksen elementtejä // Duke Math. J .. - 1937. - T. 3 , nro 1 . - S. 68-122 .
  9. ↑ R. Baer. Abelin ryhmät, jotka ovat suoria yhteenvetoja kaikista sisältävistä Abelin ryhmistä, // Bull. amer. Matematiikka. Soc .. - 1940. - T. 46 , nro 10 . - S. 800-806 .
  10. ↑ L. Pontryagin. Topologisten kommutatiivisten ryhmien teoria // Ann. of Math.. - 1934. - V. 35 , No. 2 . - S. 361-388 .
  11. ↑ A. G. Kurosh. Zür Zerlegung unendlicher Gruppen  // Math. Ann .. - 1932. - T. 106 . - S. 107-113 .
  12. ↑ A. G. Kurosh. Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math.. - 1937. - V. 38 , No. 2 . - S. 175-203 .
  13. ↑ A. I. Maltsev. Vääntövapaat Abelin rajalliset ryhmät // Matem. Lauantai - 1938. - T. 4 (46) , nro 1 . - S. 45-68 .
  14. ↑ L. Ya. Kulikov. Mielivaltaisen kardinaalisuuden Abelin ryhmien teoriasta // Matemaattinen kokoelma. - 1941. - Nro 1  . - S. 165-181 .
  15. ↑ L. Ya. Kulikov. Mielivaltaisen kardinaalisuuden Abelin ryhmien teoriasta // Matemaattinen kokoelma. - 1945. - T. 16 , nro 2 . - S. 129-162 .
  16. ↑ I. Kaplansky. Äärettömät Abelin ryhmät. - Ann Arbor: University of Michigan Press, 1954 (1969).
  17. ↑ L. Fuchs. Äärettömät Abelin ryhmät. - M .: Mir, 1974, 1977. - T. 1, 2.
  18. ↑ B. Jonsson. Vääntövapaiden Abeli-ryhmien suorista hajotteluista // Math. Scand.. - 1957. - T. 5 . - S. 230-235 .
  19. ↑ B. Jonsson. Vääntövapaiden Abeli-ryhmien suorista hajotteluista, II // Math. Scand.. - 1959. - T. 7 . - S. 361-371 .
  20. ↑ General Algebra, 1990 , §4.5 Abelin ryhmät, s. 500-511.

Kirjallisuus