Toisen asteen logiikka

Toisen asteen logiikka matemaattisessa logiikassa on muodollinen järjestelmä , joka laajentaa ensimmäisen asteen logiikkaa [1] mahdollistamalla yleisyyden ja olemassaolon kvantifiointi paitsi muuttujien, myös predikaattien ja funktionaalisten symbolien yli. Toisen asteen logiikka on redusoitumaton ensimmäisen asteen logiikaksi. Sitä puolestaan laajentaa korkeamman asteen logiikka ja tyyppiteoria .

Kieli ja syntaksi

Toisen asteen logiikan muodolliset kielet on rakennettu funktiosymbolien ja predikaattisymbolien joukon ympärille . Jokaiseen funktioon ja predikaattisymboliin liittyy ariteetti (argumenttien määrä). Myös lisämerkkejä käytetään ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {P}}$

Yksittäisten muuttujien symbolit, yleensä jne. ${\näyttötyyli \ x,y,z,x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2))$
Funktionaalisten muuttujien symbolit jne. Jokainen funktionaalinen muuttuja vastaa jotakin positiivista lukua - funktion ariteettia. ${\displaystyle \ F,G,H,F_{1},G_{1},H_{1},F_{2},G_{2},H_{2))$
Predikaattimuuttujien symbolit jne. Jokainen predikaattimuuttuja vastaa jotakin positiivista lukua - predikaatin ariteettia. ${\displaystyle \ P,R,S,P_{1},R_{1},S_{1},P_{2},R_{2},S_{2))$
Ehdotusyhteydet: , $\lor ,\land ,\neg ,\to$
Yleisyyden ja olemassaolon kvantisoijat , $\kaikille$ $\olemassa$
Palvelusymbolit: sulkumerkit ja pilkku.

Listatut symbolit yhdessä symbolien kanssa muodostavat ensimmäisen asteen logiikan aakkoston. Monimutkaisemmat rakenteet määritellään induktiivisesti . ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {F}}$

Termi on yksittäisen muuttujan symboli tai lauseke, jolla on muoto , jossa on arityn funktionaalinen symboli ja ovat termejä, tai muodon ilmaus , missä on arityn funktionaalinen muuttuja ja ovat termejä. $\f(t_{1},\ldots ,t_{n})$ $\f$ $\n$ $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ $\ F(t_{1},\ldots ,t_{n})$ $\F$ $\n$ $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$
Atomilla on muoto , jossa on arityn predikaattisymboli ja ovat termejä tai , missä on arityn predikaattimuuttuja ja ovat termejä. $\p(t_{1},\ldots ,t_{n})$ $s$ $\n$ $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ $\P(t_{1},\ldots ,t_{n})$ $P$ $\n$ $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$
Kaava on joko atomi tai jokin seuraavista rakenteista: , jossa ovat kaavat ja ovat yksilöllisiä, funktionaalisia ja predikaattimuuttujia. (Konstruktiot ovat toisen eivätkä ensimmäisen kertaluvun kaavoja ). $\neg A,(A_{1}\tai A_{2}),(A_{1}\land A_{2}),(A_{1}\to A_{2}),\kaikki xA,\olemassa xA ,\kaikki FA,\olemassa FA,\kaikki PA,\olemassa PA$ $\A,A_{1},A_{2}$ $\x,F,P$ $\forall FA,\exists FA,\forall PA,\exists PA$

Aksiomatiikka ja kaavojen todisteet

Semantiikka

Klassisessa logiikassa toisen asteen logiikkakaavojen tulkinta on annettu toisen asteen mallilla, joka määräytyy seuraavien tietojen perusteella.

pohjasarja , $\mathcal{D}$
Semanttinen ominaisuus , joka näkyy $\sigma$
- jokainen -ary-funktiosymboli funktiosta -ary - funktioon , $n$ $f$ ${\mathcal {F}}$ $n$ $\sigma (f):{\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}$
- jokainen -aarinen predikaattisymboli suhde -aariseen . $n$ $s$ ${\mathcal {P}}$ $n$ $\sigma (p)\subseteq {\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}$

Ominaisuudet

Toisin kuin ensimmäisen asteen logiikalla, toisen asteen logiikalla ei ole täydellisyyden ja tiiviyden ominaisuuksia . Myös tässä logiikassa Löwenheim-Skolem-lauseen väite on virheellinen .

Muistiinpanot

↑ Shapiro (1991) ja Hinman (2005) antavat täydelliset johdannot aiheeseen täydellisine määritelmineen.

Kirjallisuus

Henkin, L. (1950). "Täydellisyys tyyppiteoriassa". Journal of Symbolic Logic 15(2): 81-91.
Hinman, P. (2005). Matemaattisen logiikan perusteet. A. K. Peters. ISBN 1-56881-262-0 .
Shapiro, S. (2000). Perusteet ilman perustusmielisyyttä: Toisen asteen logiikan perustelu. Oxford University Press . ISBN 0-19-825029-0 .
Rossberg, M. (2004). "Ensimmäisen asteen logiikka, toisen asteen logiikka ja täydellisyys". julkaisussa V. Hendricks et ai., toim.. Ensimmäisen asteen logiikka uudelleen. Berliini: Logos Verlag.
Vaananen, J. (2001). "Toisen asteen logiikka ja matematiikan perusteet". Bulletin of Symbolic Logic 7(4): 504-520.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista