Routh yhtälöt

Routhin yhtälöt ovat mekaanisen järjestelmän liikkeen differentiaaliyhtälöitä, joilla on ihanteelliset kaksisuuntaiset holonomiset rajoitukset .

E. J. Routh ehdotti vuonna 1876 [1] liittyen hänen menetelmäänsä eliminoida sykliset koordinaatit liikeyhtälöistä [2] . Ne ovat eräänlainen yhdistelmä Lagrangen toisen tyyppisiä yhtälöitä ja Hamiltonin yhtälöitä .

Routhin yhtälöiden laatiminen

Jos toisen tyyppisissä Lagrange-yhtälöissä tilamuuttujien roolia ovat Lagrange-muuttujat (yleistetut koordinaatit ja yleistetut nopeudet ) ja Hamilton-yhtälöissä - Hamilton- muuttujat (yleistetut koordinaatit ja yleinen momentti ), niin Routh lähestymistapa mahdollistaa yleistettyjen koordinaattien (sekä vastaavien yleistettyjen impulssien) jakamisen kahteen ryhmään ja mekaanisen järjestelmän tilan kuvauksen Routhin muuttujien avulla [3] : $q_{_{i))$ ${\piste {q_{_{i))))$ $q_{_{i))$ $p_{_{i))$

q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\piste {q_{_{1)))),\dots ,{\piste {q_{_{r }}}},\,p_{_{r+1}},\dots ,p_{_{s}}\,\,;

tässä on vapausasteiden lukumäärä, . Yleistyneet impulssit määritellään tavalliseen tapaan - Lagrange-funktion osittaisderivaattaina , jossa on aika, suhteessa yleistettyihin nopeuksiin: $s$ $r\leqslant s$ $p_{_{i))$ $L\,=\,L\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\piste {q_{_{1)))),\pisteet ,{\piste {q_{_{s}}}},\,t)$ $t$

(*)\qquad p_{_{i}}\;=\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{_{i}}}}}\,,\ qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s\,\,.

Juuri kirjoitetut suhteet ovat yhtälöjärjestelmä toisen ryhmän yleistetyille nopeuksille. Siinä tapauksessa, että mekaaninen järjestelmä on luonnollinen , eli erona otetaan käyttöön Lagrange- funktio [ 4 ] , yhtälöjärjestelmä osoittautuu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmäksi. $sr$ $L\,=\,T-\Pi$ $T$ $\Pi$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),t)$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\piste {q_{_{1)))), \pisteet ,{\piste {q_{_{s}}}},\,t)$ $(*)$

Lisäksi oletetaan, että yhtälöjärjestelmä on yksiselitteisesti ratkaistavissa toisen ryhmän yleistettyjen nopeuksien suhteen. Luonnollisissa järjestelmissä näin tulee aina olemaan, koska lineaariyhtälöjärjestelmän determinantti on yksi järjestelmän hitauskertoimista koostuvan matriisin pääalustaista , mutta jälkimmäinen on positiivisesti määritelty [5] , joten että sen pääalaikäiset ovat positiivisia Sylvester-kriteerin mukaan ja ovat siten nollasta poikkeavia. Ei-luonnollisten järjestelmien osalta tehtyä oletusta pidetään [4] funktiolle asetettavana lisävaatimuksena . $(*)$ $L$

Näillä oletuksilla Routhin yhtälöiden muodostamiseksi löydetään [6] [7] eksplisiittinen lauseke Routh-funktiolle (Rouse itse kutsui sitä [8] "muokatuksi Lagrange-funktioksi")

R\;=\;L\,-\sum _{i=r+1}^{s}p_{_{i}}{\piste {q_{_{i}}}}

Routh-muuttujien ja ajan kautta:

R\;=\;R\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\piste {q_{_{1)))),\dots ,{\piste {q_{_{r}}}},\,p_{_{r+1}},\pisteet ,p_{_{s}}\,t)

(joille yleiset nopeudet on jätetty pois alkuperäisestä lausekkeesta relaatioita käyttäen ), minkä jälkeen nämä yhtälöt kirjoitetaan [9] [10] : ${\piste {q_{_{r+1)))),\pisteet ,{\piste {q_{_{s))))$ $(*)$ $R$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\pisteet ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i))))\,,\qquad {\frac ({\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\ ;{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,+\,Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\pisteet ,s;

tässä on yleistettyjä ei-potentiaalisia voimia [11] . Routhin yhtälöiden pätevyys voidaan varmistaa alistamalla toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt yksinkertaisille muunnoksille [9] [12] . $Q\,'_{_{i))$

Routhin yhtälöillä on Lagrangin muoto ensimmäisen ryhmän yleistetyille koordinaateille ja Hamiltonin muoto toisen ryhmän koordinaateille. Kohdassa , Routhin yhtälöt pelkistetään toisen tyyppisiksi Lagrange-yhtälöiksi ja kohdassa , ne siirtyvät (jos Hamiltonin funktio otetaan käyttöön yhtälöllä ) Hamiltonin yhtälöihin [13] . $r = 0$ $r=s$ $H$ $H=-R$

Routhin yhtälöiden soveltaminen

Menetelmä syklisten koordinaattien poistamiseksi

Routhin yhtälön pääsovellus löytyy hänen ehdottamansa menetelmän puitteissa syklisten koordinaattien eliminoimiseksi liikeyhtälöistä (käytetään myös termiä "Roussin menettely syklisten koordinaattien huomiotta jättämiseksi" [14] [15] ). Routh itse viittasi syklisiin koordinaatteihin "puuttuvina koordinaatteina"; termin "sykliset koordinaatit" esitteli [16] vuonna 1884 G. Helmholtz [17] .

Olkoon koordinaatit syklisiä , eli jos seuraavat ehdot täyttyvät [15] : $q_{_{r+1}},\dots ,q_{_{s}}$ $i\,=\,r+1,\dots ,s$

Routh-funktio ei riipu niistä: (tämä ehto vastaa [18] riippumattomuutta Lagrange- tai Hamilton-funktiosta); ${\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,=\,0$ $q_{_{i))$
näitä koordinaatteja vastaavat yleiset ei-potentiaaliset voimat ovat yhtä suuria kuin nolla: ; $Q\,'_{_{i}}\,=\,0$
Muita yleistettyjä koordinaatteja vastaavat yleiset ei-potentiaaliset voimat (jälkimmäisiä kutsutaan [19] sijaintipaikallisiksi ) eivät riipu syklisistä koordinaateista: . ${\frac {\partial Q\,'_{_{k))}{\partial q_{_{i))))\,=\,0,\;\;k\,\,= \,\,1,\pisteet ,r$

Tässä tapauksessa mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöt muodostetaan Routhin yhtälöiden muotoon, jossa ensimmäisen ryhmän yleistettyjä koordinaatteja muodostavat paikkakoordinaatit ja toisen ryhmän muodostavat sykliset koordinaatit. Tässä tapauksessa viimeiset Routhin yhtälöt ovat muodoltaan $sr$

{\frac {{\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;0\,,\qquad i\,\,= \,\,r+1,\pisteet ,s,

niin, että toisen ryhmän yleiset impulssit osoittautuvat vakioiksi:

p_{_{i}}\;=\;\beta _{_{i}}\;=\;{\rm {const}}\,,\qquad i\,\,=\,\ ,r+1,\pisteet ,s.

Vakiot löytyvät alkuehdoista. Kun momentti Routh-funktiossa ja loput Routh-yhtälöt on korvattu vakioilla , ensimmäinen Routhin yhtälöiden ryhmä erotetaan täysin muista: $\beta _{_{i))$ $p_{_{i))$ $\beta _{_{i))$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\pisteet ,r.

Näillä yhtälöillä on sama muoto kuin toisen tyyppisillä Lagrange-yhtälöillä uudelle mekaaniselle järjestelmälle, jolla on vapausaste ja tällainen Lagrange-funktio : $r$ $L^{*}$

L^{*}(q_{_{1)),\dots ,q_{_{r)),\,{\piste {q_{_{1)))),\pisteet ,{\piste {q_{_{r}}}},\,t)\;=\;R\,(q_{_{1}}),\dots ,q_{_{s}}),\,{\piste {q_ {_{1}}}},\pisteet ,{\piste {q_{_{r}}}},\,\beta _{_{r+1}}),\pisteet ,\beta _{ _{s }},\,t)\,\,.

Siten syklisten koordinaattien eliminointimenetelmä mahdollistaa liikeyhtälöiden järjestyksen pienentämisen arvosta . Tuloksena olevan järjestelmän integroinnin jälkeen syklisten koordinaattien riippuvuus ajasta voidaan saada [15] [20] yksinkertaisella kvadratuurilla: $2s$ $2r$

q_{_{i}}(t)\;=\;-\,\int \limits _{t_{_{0}}}^{t}\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,\,{\rm {d}}t\,\,+\,C_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s.

Jos viimeinen kolmesta ehdosta, jotka syklisten koordinaattien on täytettävä, ei täyty, puhutaan pseudosyklisistä koordinaateista . Tässä tapauksessa syklisten koordinaattien eliminointimenetelmän soveltaminen johtaa yhtälöjärjestelmään

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\pisteet ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,,\qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s;

näin ollen tässä tapauksessa liikeyhtälöiden järjestys pienenee, mutta ei niin merkittävästi - [15] :een . $s+r$

Muut käyttötarkoitukset

Vuonna 1884 G. Helmholtz käytti Routhin yhtälöitä termodynamiikan tutkimuksessaan [21] .

XX vuosisadan lopussa. V. F. Zhuravlev perusteli Routhin yhtälöiden käytön tarkoituksenmukaisuutta kuvaamaan mekaanisten järjestelmien liikettä yksisuuntaisilla rajoituksilla, kun iskuvuorovaikutuksia voi tapahtua . Tässä tapauksessa Routhin yhtälöiden laitteisto mahdollistaa liikeyhtälöiden kirjoittamisen sellaiseen muotoon, joka ei sisällä singulaarisuuksia, kuten deltafunktioita [22] .

Muistiinpanot

↑ Petkevich, 1981 , s. 358-359.
↑ Golubev, 2000 , s. 564.
↑ Markeev, 1990 , s. 249.
↑ 1 2 Markeev, 1990 , s. 240.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 130.
↑ Golubev, 2000 , s. 565.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 348-349.
↑ Routh, osa I, 1983 , s. 361.
↑ 1 2 Kilchevsky, 1977 , s. 349.
↑ Golubev, 2000 , s. 565-566.
↑ Kirjallisuudessa on muitakin vaihtoehtoja Routhin yhtälöiden kirjoittamiseen: ne joko muuttavat ensimmäisen ja toisen ryhmän koordinaattien rooleja tai muuttavat Routh-funktion etumerkkiä (noudatimme Routhia valittaessa "muuttuneen" Lagrange-toiminto”).
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 127.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 349-350.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 351.
↑ 1 2 3 4 Zhuravlev, 2001 , s. 128.
↑ Helmholtz, H. von Principien der Statik monocyklischer Systeme // Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1884, 97 . - s. 111-140.
↑ Lanczos K. Mekaniikan variaatioperiaatteet. - M .: Mir, 1965. - 408 s. - S. 151.
↑ Markeev, 1990 , s. 276.
↑ Markeev, 1990 , s. 351.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 350.
↑ Petkevich, 1981 , s. 359.
↑ Zhuravlev, Fufaev, 1993 , s. 88-89.

Kirjallisuus

Golubev Yu. F. Teoreettisen mekaniikan perusteet. 2. painos - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 2000. - 719 s. — ISBN 5-211-04244-1 .
Zhuravlev VF Teoreettisen mekaniikan perusteet. 2. painos - M .: Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 .
Zhuravlev V. F. , Fufaev N. A. Järjestelmien mekaniikka, joissa on ei-säilyttäviä rajoituksia. - M .: Nauka, 1993. - 240 s. — ISBN 5-02-006784-9 .
Kilchevsky N.A. Teoreettisen mekaniikan kurssi. T. II. - M .: Nauka, 1977. - 544 s.
Markeev A.P. Teoreettinen mekaniikka. - M .: Nauka, 1990. - 416 s. — ISBN 5-02-014016-3 .
Petkevich VV Teoreettinen mekaniikka. - M .: Nauka, 1981. - 496 s.
Raus, E. J. Jäykkien kappaleiden järjestelmän dynamiikka. T. I. - M .: Nauka, 1983. - 464 s.
Targ S. M. Routhin yhtälö // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton Encyclopedia (osa 1-2); Great Russian Encyclopedia (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .