Putken kaava

Putken kaava tai Weylin kaava on lauseke osamoniston tilavuus-naapurustolle polynomina in . Hermann Weilin ehdotus . $r$ $r$

Sanamuoto

Olkoon suljettu -ulotteinen osamonisto -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa vastaavasti koodiulottuvuus . $M$ $m$ $n$ $k=nm$ $M$

Merkitse naapurustolla . Sitten kaikille riittävän pienille positiivisille arvoille tasa-arvo $Herra$ $r$ $M$ $r$

V(M_{r})=\omega _{k}\cdot r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)))),

missä on tilavuus , on yksikköpallon tilavuus -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. ja $V(M_{r})$ $Herra$ $\omega_{k}$ $k$

V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )

jollekin homogeeniselle astepolynomille ; tässä tarkoittaa kaarevuustensoria . $p_{i}$ $i$ $\mathrm {Rm}$

Lauseke on ns. Lipschitz-Killing-kaarevuus , se on verrannollinen kaarevuustensorin keskimääräiseen Pfaffian -arvoon tangenttiavaruuden kaikissa ulottuvuuksissa. $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ $(2\cdot i)$

Muistiinpanot

Pienin nollasta poikkeava kerroin on -ulotteinen tilavuus . $V_{0}(M)$ $m$ $M$
Jos mitta on parillinen , niin $M$ $m=2\cdot k$ $V_{k}=\chi (M),$

missä on Eulerin ominaisuus .

{\näyttötyyli \chi (M),}

M

Seuraukset

Yksinkertaisen suljetun sileän käyrän -alueen tilavuus -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa pienelle ilmaistaan kaavalla $r$ ${\näyttötyyli \gamma _{r))$ $\gamma$ $n$ $r$ $V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

missä tarkoittaa pituutta .

L(\gamma )

\gamma

Tasaisille suljetuille pinnoille 3-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa tasa-arvo $M$ $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$
Jos eukidian avaruuden kaksi alijoukkoa ovat isometrisiä, niin niiden -naapurialueiden tilavuudet ovat samat kaikille pienille positiivisille . $r$ $r$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Hyperpintojen puoliputken kaava ilmaisee yksipuolisen naapuruston tilavuuden , se on myös polynomi in , mutta kaikki kertoimet eivät riipu sisäisestä kaarevuudesta. Erityisesti kolmiulotteisen tilan pinnoille puoliputken kaava saa muodon $r$ ${\displaystyle M_{r}^{+))$ $r$ $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{ \tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

jossa tarkoittaa keskimääräistä kaarevuutta .

H

Katso myös

Kirjallisuus

Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (englanniksi) // American Journal of Mathematics. - 1939. - Voi. 61 , nro. 2 . - s. 461-472 .
Simon Willerton, Intrinsic Volumes ja Weyl's Tube Formula