Kiraalisuus (matematiikka)

Kiraalisuus - peilisymmetrian puuttuminen kuvasta; Tarkemmin sanottuna figuuria ei voi yhdistää sen peilikopioon. Kiraalista hahmoa ja sen peilikuvaa kutsutaan enantiomorfeiksi . Sana kiraalisuus tulee toisesta kreikasta. χειρ (kheir) - "käsi". Se on tunnetuin kiraalinen esine. Sana enantiomorfi tulee muusta kreikasta. εναντιος (enantios) - "vastakohta" ja μορφη (morphe) - "muoto". Ei-kiraalista objektia kutsutaan akiraaliksi tai amfikiraaliksi .

Helix (sekä kierretty lanka, korkkiruuvi , potkuri jne.) ja Möbius-nauha ovat kolmiulotteisia kiraalisia esineitä. Suositun Tetris-pelin J-, L-, S- ja Z-muotoisilla tetriminoilla on myös kiraalisuutta , mutta vain 2D-muodossa.

Joillekin kiraalisille kohteille, kuten ruuville , voidaan määrittää oikeakätinen tai vasenkätinen suunta oikean käden säännön mukaan .

Kiraalisuus- ja symmetriaryhmät

Figuuri on kiraalinen silloin ja vain, jos sen symmetriaryhmä sisältää vähintään yhden suuntaa muuttavan isometrian. Euklidisessa geometriassa millä tahansa isometrialla on muoto , jossa on ortogonaalinen matriisi ja vektori . Matriisideterminantti on 1 tai −1. Jos se on −1, isometria muuttaa suuntausta , muuten se säilyttää orientaation. $v\mapsto Av+b$ $A$ $b$ $A$

Kiraalisuus 3D-avaruudessa

Kolmiulotteisessa avaruudessa jokainen hahmo, jolla on symmetriataso tai symmetriakeskus, on akiraalinen. On kuitenkin olemassa akiraalisia hahmoja, joilla ei ole keskustaa eikä symmetriatasoa, esimerkiksi:

$F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1 ,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\oikea\}$

Tämä kuvio on muuttumaton orientaatio-käänteisessä muunnoksessa ja on siksi akiraalinen, mutta sillä ei ole tasoa eikä symmetriakeskusta. Kuva ${\näyttötyyli (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$

$F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1 ,1),(-1,-1,-1)\oikea\}$

on myös akiraalinen, koska koordinaattien origo on sen symmetriakeskus, mutta sillä ei ole symmetriatasoa.

Kiraalisuus kahdessa ulottuvuudessa

Kaksiulotteisessa avaruudessa jokainen kuvio, jolla on symmetria-akseli, on kiraalinen. Voidaan osoittaa, että millä tahansa rajoitetulla akiraalisella hahmolla on symmetria-akseli. Äärettömille lukuille tämä ei välttämättä pidä paikkaansa. Harkitse seuraavaa (lopullista) piirustusta:

>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>

Tämä on kiraalinen hahmo, koska se ei vastaa peilikuvaansa:

>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>

Mutta jos jatkat sitä oikealle ja vasemmalle äärettömyyteen, saat rajoittamattoman akiraalisen hahmon, jolla ei ole symmetria-akselia. Sen symmetriaryhmä on yhden vilkkuvan heijastuksen muodostama reunaryhmä .

Solmuteoria

Solmun sanotaan olevan kiraalinen , jos se voi muuttua jatkuvasti peilikuvakseen, muuten sen sanotaan olevan kiraalinen. Esimerkiksi solmuton solmu ja kahdeksasluku ovat kiraalisia, kun taas apilasolmu on kiraalista.

Katso myös

Linkit

Kiraalisuuden matemaattinen teoria (Michel Petitjean )