Näytteen jakelufunktio

Otos (empiirinen) jakaumafunktio matemaattisessa tilastossa on approksimaatio teoreettisesta jakaumafunktiosta , joka on rakennettu käyttämällä sen otosta.

Määritelmä

Olkoon jakaumafunktion antaman satunnaismuuttujan generoima näytekokoinen . Oletetaan, että missä ovat riippumattomia satunnaismuuttujia , jotka on määritelty jollekin alkeistulosten avaruudelle . Anna . Määritellään funktio seuraavasti: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $n$ $X$ $F(x)$ $X_{i}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \in \mathbb{R}$ ${\hattu {F}}(x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

missä on tapahtuman ilmaisin , on Heaviside-funktio . Siten funktion arvo pisteessä on yhtä suuri kuin niiden näyteelementtien suhteellinen tiheys, jotka eivät ylitä arvoa . Funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan otosjakaumafunktioksi tai empiiriseksi otantafunktioksi, ja se on funktion approksimaatio . On Kolmogorovin lause , jossa todetaan, että , funktio konvergoi tasaisesti , ja osoittaa lähentymisnopeuden. Jokaiselle positiiviselle on satunnaismuuttuja arvolla . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\theta (x)$ ${\näyttötyyli {\hattu {F}}}$ $x$ $x$ ${\hattu {F}}(x)$ $X$ $F(x)$ $n\to\infty$ ${\hattu {F}}(x)$ $F(x)$ $x$ ${\hattu {F}}(x)$ ${\frac {k}{n}},k\in \left\{0,n\right\}$

Perusominaisuudet

Olkoon perustulos fiksu . Sitten diskreetin jakauman jakautumisfunktio antaa seuraava todennäköisyysfunktio : $\omega \in \Omega$ ${\hat {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i))}{n)),\;i=1,\ldots ,n

jossa , ja on näyteelementtien lukumäärä yhtä suuri kuin . Erityisesti, jos kaikki otoksen elementit ovat erillisiä, niin . $x_{i}=X_{i}(\omega )$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $x$ $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$