H∞-ohjaus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.7.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

H äärettömässä tai on ohjausteorian menetelmä optimaalisten säätimien synteesiä varten . Menetelmä on optimointi , ja se käsittelee tiukkaa matemaattista kuvausta suljetun järjestelmän odotetusta käyttäytymisestä ja sen stabiilisuudesta . Menetelmä on tunnettu tiukasta matemaattisesta perustastaan, optimointiluonteestaan ja soveltuvuudesta sekä klassiseen että robustiin ohjaukseen. ${\mathcal {H}}_{\infty }$

${\mathcal {H}}$ on normi Hardy-tilassa . "Infinity" viittaa minimimaksimiehtojen täyttymiseen taajuusalueella . on dynaamisen järjestelmän normi, jolla on merkitys järjestelmän maksimivahvistukselle energian suhteen. MIMO -järjestelmien tapauksessa se on yhtä suuri kuin järjestelmän siirtofunktion suurin yksittäinen arvo, SISO -järjestelmissä se on yhtä suuri kuin sen taajuusvasteen amplitudin maksimiarvo . ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Ongelman selvitys

Ensin järjestelmä on saatettava vakiomuotoon:

Ohjausobjektissa on kaksi tuloa, kaksi ulkoista vaikutusta , jotka sisältävät referenssisignaalin ja häiriöt. Ohjattu muuttuja on merkitty . Tämä on järjestelmän lähtösignaalivektori, joka koostuu minimoitavasta virhesignaalista ja mittaussuureesta , jota käytetään ohjaussilmukassa. käytetään K :ssa muuttujan laskemiseen . ${\näyttötyyli \ P}$ $\w$ $\u$ $\z$ $\v$ $\v$ $\u$

Järjestelmän yhtälö:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_ {11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{ bmatrix}}

u=K(s)\,v

Siten on mahdollista ilmaista riippuvuus : $\z$ $\w$

z=F_{l}(P,K)\,w

Ja kauemmas:

F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Siten -optimaalisen ohjauksen tavoitteena on syntetisoida sellainen ohjain , joka minimoi järjestelmän -normin. Sama pätee johtamiseen. Normi matriisin äärettömyydessä määritellään seuraavasti: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ $\K$ $\ F_{l}(P,K)$ ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\mathcal {H}}_{2}$ $\ F_{l}(P,K)$

||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\ omega ))

missä on matriisin suurin singulaariarvo . ${\bar {\sigma ))$ $\ F_{l}(P,K)(j\omega )$

Tällä tavalla löydetty ohjain on optimaalinen siinä mielessä. On myös useita sovelluksia, joissa niin sanottu " pienen vahvistuksen ongelma " ratkaistaan . Osana tätä tehtävää on tarpeen löytää ohjain, joka varmistaisi ehdon täyttymisen ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

Tätä tehtävää kutsutaan joskus myös " vakioohjaustehtäväksi". ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Edut ja haitat

H∞-ohjauksessa on useita ominaisuuksia verrattuna muihin robustin säätimen synteesin menetelmiin. Edut sisältävät:

Menetelmä toimii järjestelmän vakauden ja herkkyyden kanssa.
Yksinkertainen yksivaiheinen algoritmi.
Lähtötaajuusvasteen tarkka muotoilu.

Haittoja ovat se, että menetelmä vaatii erityistä huomiota ohjausobjektin parametriseen robustisuuteen.

Ohjaimen ominaisuudet ${\mathcal {H}}_{\infty }$

1. Optimaalisen säätimen painofunktio on vaihesuodatin , eli järjestelmän pienimmälle singulaariarvolle suhde täyttyy: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\bar {\sigma \ }}$

{\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1

kenelle tahansa

\omega \ \in R

2. -optimaalisella ohjaimella on maksimijärjestys , missä on ohjausobjektin järjestys . ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\näyttötyyli \n-1}$ ${\näyttötyyli \n}$

Edellytykset -ohjainten olemassaololle ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Jotta -ohjain olisi olemassa vakiotehtävässä: ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot täyttyvät:

1. Edustamme suljettua järjestelmää yhtälöiden muodossa tilaavaruudessa :

\piste{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Pitää olla suhteellinen ohjauslaki siten, että suljetun järjestelmän matriisin suurin singulaariarvo täyttää epäyhtälön $\ F(s)=K$ ${\näyttötyyli \D}$ $\sigma _{n}\ (D)<1$

2. Riccati - yhtälö ohjaukselle

Tilanhallinnan Riccati-yhtälöllä on oltava todellinen, positiivinen ja tarkka ratkaisu . $P\geq 0$

3. Riccatin yhtälö havainnoijalle

Riccati-yhtälöllä havainnoitsijalle, joka työskentelee rinnakkain ohjaimen kanssa, on oltava todellinen, positiivisesti määrätty ratkaisu . $S\geq 0$

4. Omien numeroiden rajoitus:

Riccati-yhtälöiden kahden ratkaisun tulon suurimman ominaisarvon (ohjaimelle ja havainnoijalle) on oltava pienempi kuin yksi: $\lambda _{max}(PS)<1$

Katso myös

vankka ohjaus

Bibliografia

Egupov N. D., Pupkov K. A. Automaattisen ohjauksen klassisen ja modernin teorian menetelmät. Automaattisten ohjausjärjestelmien säätimien synteesi. 5 osassa Osa 3, painos 2. 2004.616 s.
R.Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Väitöskirja: USC, 1988.