Q-analogi
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .Lauseen , identiteetin tai lausekkeen Q - analogi on yleistys, joka sisältää uuden parametrin q , joka palauttaa alkuperäisen lauseen, identiteetin tai lausekkeen rajassa muodossa q → 1 . Yleensä matemaatikot ovat kiinnostuneita luonnossa esiintyvistä q - analogeista sen sijaan, että keksisivät mielivaltaisia q -analogeja tunnetuille tuloksille. Varhaisimmat q -analogit ovat perushypergeometriset sarjat , joita tutkittiin 1800-luvulla [1] .
Q -analogeja käytetään yleisimmin kombinatoriikassa ja erikoisfunktioiden teoriassa . Näissä olosuhteissa raja q → 1 on usein formaalinen, koska q on usein diskreetti (se voi esimerkiksi edustaa alkuluvun potenssia ). Q -analogeilla on sovelluksia monilla aloilla, mukaan lukien fraktaalien ja multifraktaalimittojen tutkimuksessa sekä kaoottisten dynaamisten järjestelmien entropian ilmaisemisessa . Yhteys fraktaaleihin ja dynaamisiin järjestelmiin syntyy siitä, että monilla fraktaaliobjekteilla on fuksialaisten ryhmien symmetria yleensä (katso esim. artikkelit "Indra's pearls" ja " Apollonian's grid ") ja erityisesti modulaarinen ryhmä . . Yhteys kulkee hyperbolisen geometrian ja ergodisen teorian kautta , joissa elliptiset integraalit ja modulaariset muodot ovat tärkeässä roolissa. Itse q - sarja liittyy läheisesti elliptisiin integraaleihin.
Q -analogeja esiintyy kvanttiryhmien tutkimuksessa ja q -häiriöisissä superalgebroissa . Yhteys tässä on samanlainen kuin kuinka merkkijonoteoria on rakennettu Riemannin pintojen kielellä , mikä johtaa yhteyteen elliptisten käyrien kanssa , jotka puolestaan liittyvät q - sarjaan .
"Klassinen" q - teoria
Klassinen q -teoria alkaa q -analogeilla ei-negatiivisille kokonaisluvuille [2] . Tasa-arvo
ehdottaa, että määritämme luvun n q - analogin , joka tunnetaan q - sulkeena tai luvun n q - numerona .
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
Tämän nimenomaisen q -analogin valinnalla muiden mahdollisuuksien joukossa ei ole varmaa syytä, mutta analogia syntyy luonnollisesti useissa yhteyksissä. Jos esimerkiksi päätämme käyttää merkintää [ n ] q luvun n q - analogille , voimme määrittää faktoriaalin q -analogin , joka tunnetaan q - faktoriaalina seuraavasti:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}} \cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9aca08867b8fd46c5c717a2a8aca39c294faf0)
Tämä q -analogi esiintyy luonnollisesti useissa yhteyksissä. Huomattavaa, kun taas n ! laskee permutaatioiden lukumäärän, joiden pituus on n , [ n ] q ! laskee permutaatiot ottaen huomioon inversioiden määrän . Eli jos inv( w ) tarkoittaa permutaation w inversioiden lukumäärää ja S n on n pituisten permutaatioiden joukko , meillä on
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdbf42b3988d54e8a3997462fbf86ee1efc88fa)
Erityisesti voit saada tavallisen faktoriaalin siirtymällä rajaan .
Q -tekijä määritellään lyhyesti myös Pochhammer q -symbolilla , joka on kaikkien q -teorioiden perusrakennuspalikka:
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e12939e2d9c21567ce00527543674ba70d6)
Voidaan siirtyä q-tekijästä q - binomiaalikertoimiin , jotka tunnetaan myös Gaussin kertoimina , Gaussin polynomeina tai Gaussin binomiaalikertoimina :
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
Q -aste määritellään seuraavasti
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
Trigonometriset q -funktiot yhdessä q -Fourier-muunnoksen kanssa määritellään samassa yhteydessä.
Q -analogit kombinatoriikassa
Gaussin kertoimet laskevat äärellisen vektoriavaruuden aliavaruudet . Olkoon q äärellisen kentän alkioiden lukumäärä (luku q on tällöin yhtä suuri kuin alkuluvun potenssi , q = p e , joten kirjaimen q käyttö on järkevää). Tällöin n -ulotteisen vektoriavaruuden k - ulotteisten aliavaruuksien määrä kentässä, jossa on q elementtiä on
Koska q pyrkii olemaan 1, saamme binomikertoimen
tai toisin sanoen k -alkioisten osajoukkojen lukumäärä joukossa, jossa on n alkiota.
Siten äärellistä vektoriavaruutta voidaan pitää joukon q -yleistyksenä ja aliavaruuksia tämän joukon osajoukkojen q -yleistyksenä. Tämä on hedelmällinen näkökulma kiinnostavien teoreemojen löytämiseen. Esimerkiksi Spernerin lauseella ja Ramseyn teorialla on q -analogeja .
q → 1
Päinvastoin kuin q :n sallitaan muuttua ja q -analogeja pidetään poikkeamia, voidaan pitää kombinatorista tapausta q = 1 q -analogien q → 1 rajana (usein ei ole mahdollista yksinkertaisesti korvata q = 1 kaavalla, joten raja on otettava).
Tämä voidaan formalisoida kentässä, jossa on yksi elementti , jossa kombinatoriikka esitetään lineaarisena algebrana yhden elementin kentän päällä. Esimerkiksi Weyl-ryhmät ovat yksinkertaisesti algebrallisia ryhmiä kentässä, jossa on yksi elementti.
Sovellukset fysiikassa
Q -analogeja löytyy usein täsmällisistä ratkaisuista monikeho-ongelmiin. Tällaisissa tapauksissa raja q → 1 vastaa suhteellisen yksinkertaista dynamiikkaa, eli ilman epälineaarisia häiriöitä, kun taas q < 1 antaa välähdyksen monimutkaiseen epälineaariseen takaisinkytkentäjärjestelmään.
Esimerkki atomifysiikasta on malli, jossa luodaan molekyylikondensaatti ultrakylmasta fermionisesta kaasusta olosuhteissa, joissa ulkoinen magneettikenttä lakaistaan Feshbach-resonanssin avulla [3] . Tätä prosessia kuvataan mallilla, jossa on SU(2)-operaattorialgebran q -häiriöinen versio ja ratkaisu kuvataan q -häiriöidyillä eksponentiaali- ja binomijakaumilla .
Katso myös
- Luettelo q -analogeista
- Stirlingin numerot
- Nuori kaavio
Muistiinpanot
- ↑ Exton, 1983 .
- ↑ Ernst, 2003 , s. 487–525.
- ↑ Sun, Sinitsyn, 2016 , s. 033808.
Kirjallisuus
- Exton H. q-Hypergeometriset funktiot ja sovellukset. - New York: Halstead Press, 1983. - ISBN 0853124914 . — ISBN 0470274530 . — ISBN 978-0470274538 .
- Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2003. - T. 10 , no. 4 . — S. 487–525 .
- Sun C., Sinitsyn NA Landau-Zener Tavis-Cummings-mallin laajennus: Ratkaisun rakenne // Phys. Rev. A. _ - 2016. - T. 94 , no. 3 . - doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . - .
Linkit
- Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Umbral calculus , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
- q -analogi MathWorldistä _
- q -sulku MathWorldistä _
- q -factorial MathWorldistä _
- q -binomiaalinen kerroin MathWorldistä