Absoluuttinen Galois-ryhmä

Kentän absoluuttinen Galois-ryhmä on Galois-ryhmä over , jossa on erotettavissa oleva sulkeminen . Määritetään myös kentän algebrallisen sulkeutumisen automorfismien ryhmäksi, joka jätetään liikuttamatta. Absoluuttinen Galois-ryhmä on ainutlaatuinen isomorfismiin asti. Se on proterminaalinen ryhmä . $G_K$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K$ $K$

(Jos on täydellinen kenttä , osuu yhteen kentän algebrallisen sulkemisen kanssa . Tämä pätee esimerkiksi kenttiin, joilla on ominaisuus 0 ja äärelliset kentät .) $K$ $K^{sep}$ $K^{alg}$ $K$

Esimerkkejä

Algebrallisesti suljetun kentän absoluuttinen Galois-ryhmä on triviaali.
Reaalilukujen absoluuttinen Galois-ryhmä on syklinen ryhmä, joka koostuu kahdesta elementistä (kompleksikonjugaatio ja identiteettikartoitus), koska se on erotettavissa oleva sulkeminen ja . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$
Äärillisen kentän absoluuttinen Galois-ryhmä on isomorfinen ryhmän kanssa . Tässä on projektiivinen raja . $K$ $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$ $\varprojlim$

Frobenius-automorfismi on kanoninen (topologinen) generaattori ( , jossa on elementtien lukumäärä ).

Fr

G_K

Fr(x) = x^q

q

K

Kompleksikertoimisten rationaalisten funktioiden kentän absoluuttinen Galois'n ryhmä on vapaa profiniittiryhmä [1] .
Yleisemmin sanottuna olkoon algebrallisesti suljettu kenttä ja muuttuja. Tällöin kentän absoluuttinen Galois-ryhmä on vapaa joukko, joka on yhtä suuri kuin kardinaliteetti [2] [3] [4] . $C$ $x$ $K = C(x)$ $C$
Antaa olla p -adic-lukujen rajallinen laajennus . Sillä , sen absoluuttinen Galois-ryhmä on luotu elementeillä ja sillä on eksplisiittinen kuvaus generaattoreiden ja suhteiden suhteen. $K$ $Q_p$ $p \neq 2$ $[K:Q_p]+3$
Absoluuttinen Galois-ryhmä on määritelty algebrallisten lukujen kentän suurimmalle puhtaasti todelliselle osakentälle.

Avoimet numerot

Eksplisiittistä kuvausta absoluuttisesta Galois'n rationaalisten lukujen ryhmästä ei tunneta . Tässä tapauksessa Belyin lauseesta seuraa , että absoluuttisella Galois'n ryhmällä on tehokas vaikutus Grothendieckin dessins d'enfants , mikä mahdollistaa Galois'n algebrallisten lukukenttien teorian visualisoinnin .
Shafarevich väittää, että rationaalisten lukujen maksimaalisen Abelin laajennuksen absoluuttinen Galois-ryhmä on vapaa profiniittiryhmä.

Muistiinpanot

↑ Adrien Douady. Determination d'un groupe de Galois (ranska) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. - 1964. - Voi. 258. - P. 5305-5308. , MR : 0162796
↑ David Harbater. Perusryhmät ja upotusongelmat ominaisuudessa p (englanniksi) // American Mathematical Society . - 1995. - Voi. 186.—s. 353—369.
↑ Dan Haran, Moshe Jarden. Absoluuttinen Galois-ryhmä C ( x ) // Pacific Journal of Mathematics: Journal. - 2000. - Voi. 196 , nro. 2 . - s. 445-459. doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 .
↑ Florian Pop. Étale Galois -kannet affiinin sileistä kaarevista. Shafarevitšin arvelun geometrinen tapaus. Abhyankarin olettamuksesta (englanniksi) // Inventiones Mathematicae . - 1995. - Voi. 120, ei. 3 . - s. 555-578. - doi : 10.1007/bf01241142 .