Andrejevskin heijastus

Andreevin heijastus - normaalista metallista suprajohteen rajapintaan putoavan elektronin heijastusprosessi , jossa elektroni muuttuu reikään , muuttaa molemmat nopeuskomponentit vastakkaisiksi (takaisinheijastuksen aikana) ja kaksi elektronia saapuu suprajohteeseen (Cooper-pari). Nimetty Alexander Fedorovich Andreevin mukaan, joka teoriassa ennusti tämäntyyppistä heijastusta vuonna 1964 [1] . Samalla on peili Andreev-heijastus , jossa reikä ei muuta nopeusprojektiota rajalle. Beenacker ennusti tämän vaikutuksen vuonna 2006.

Ilmiön olemus

Normaalissa metallissa olevien elektronien perustila absoluuttista nollaa lähestyvässä lämpötilassa on täytettyjä tiloja Fermi-energiaa alhaisemmilla energioilla ja tyhjiä tiloja Fermi-energiaa suuremmilla energioilla. Alkeisviritteiden – elektronien ja reikien – energia voi olla mielivaltaisen pieni. Toisaalta suprajohteen viritysspektrillä on kiellettyjen energioiden kaista , jota kutsutaan kokonaissuprajohtavaksi rakoksi . Siksi on mahdotonta tunkeutua suprajohtimeen normaalista metallista elektroni tai reikä, jonka energia Fermi-tasolta laskettuna on raon ( ) alapuolella ja myös raon alueella - , on mahdotonta [2] . Jos normaaliin metalli-suprajohde-koskettimeen syötetään jännite niin , että elektronien suorasta siirrosta johtuen koskettimen läpi kulkeva sähkövirta määräytyy vain raon yläpuolella termisesti aktivoitujen kantoaaltojen avulla, ja se on eksponentiaalisesti pieni. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $V$ $eV<\Delta$

Tässä tilanteessa virran luo Andreevin pohdiskeluprosessi. Rajalle osuva elektroni voi heijastua suprajohteen pinnalta ja muodostua aukoksi, jolla on sama viritysenergia. Koska reiän varaus on vastakkainen elektronin varaukseen nähden, niin Andreevin heijastuksen aikana varauksen säilymislain mukaan varaus, joka on kaksi kertaa elektronin varaus, siirtyy suprajohtimeen muodostaen siellä Cooper-parin . [2] . Näin ollen NS-koskettimen läpi kulkeva virta noin kaksinkertaistuu, mikä ilmaistaan koskettimen virta-jännite-ominaisuudessa lineaarisena osana, jossa on kaksinkertainen kaltevuus matalilla jännitteillä . Kohdassa , virta-jännite ominaisuus kulkee lineaarisesti ohmisen lain mukaan. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, jossa on isotrooppinen metalli ilman magneettikenttää ja magneettirakennetta ja suprajohde, jossa on s-pari, prosessi etenee seuraavasti. Andreevin heijastuksella viritysenergia säilyy, eli kvasihiukkanen siirtyy viritysspektrissä olevasta elektronin haarasta reikähaaraan samalla energialla. Tällöin elektronin liikemäärä eroaa jonkin verran reiän liikemäärästä, mutta liikemäärän muutos on mitätön Fermi-liikemäärään verrattuna metallien, jossa Fermi-energia on korkea. Kuitenkin reiän ryhmänopeus (missä ja tarkoittaa kvasihiukkasten energiaa ja liikemäärää) on päinvastainen kuin elektronin ryhmänopeus [3] . Siksi koordinaattiavaruudessa reikä liikkuu elektronin liikeradalla, mutta vastakkaiseen suuntaan ( englanniksi retroreflection ). Toisin sanoen, Andreevin heijastuksen aikana kvasihiukkanen kääntää molemmat nopeuskomponentit (tavallisessa heijastuksessa vain normaalikomponentti vaihtaa etumerkkiä). Koska Cooper-parin kahden elektronin spinit ovat vastakkaiset, elektronin ja reiän spinit ovat myös vastakkaiset. ${\vec {v}}=\partial \varepsilon /\partial {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Teoreettinen kuvaus

Suurin osa Andreevin heijastuksen kuvaamiseen käytetyistä teoreettisista menetelmistä perustuu Greenin funktiomenetelmään . Koska Greenin funktioihin perustuva kuvaus on työlästä suprajohtimille, käytetään puoliklassista approksimaatiota - Eilenbergerin yhtälöt puhtaille järjestelmille ja Usadelin yhtälöt siinä tapauksessa, että epäpuhtauspitoisuus on riittävän korkea [4] . Useimmissa ongelmissa on kuitenkin mahdollista yksinkertaistaa formalismia entisestään ja käyttää intuitiivisia Bogolyubov-de Gennesin yhtälöitä , jotka ovat yksinkertaisesti yleistys Schrödingerin yhtälöstä tapaukseen, jossa järjestelmä sisältää sekä elektroneja että reikiä.

BTK-teoria [5] käyttää viimeistä approksimaatiota löytääkseen virta-jännite-ominaisuudet metalli-suprajohde-koskettimen kautta. Teoriassa tarkastellaan puhtaiden materiaalien yksiulotteista ongelmaa, jossa hiukkasaaltovektori on hyvä kvanttiluku ja sillä on yksi vapaa parametri: esteen korkeus rajalla. Suprajohteen Bogolyubov-de Gennesin yhtälö kirjoitetaan muodossa

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

missä on pelkistetty Planck-vakio , m on elektronin massa, k on hiukkasen aaltovektori, μ on kemiallinen potentiaali , Δ =Δ 0 e iφ on suprajohtava rako, φ on suprajohteen vaihe, u ja v ovat elektroni- ja reikäaaltofunktiot , G δ ( x) on deltafunktio, jonka amplitudi on G . Energian ominaisarvot ε saadaan ominaisyhtälöstä $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Kuvassa on esitetty dispersiosuhteet metallin ja suprajohteen tapauksessa [6] .

Tämän yhtälön kahdesta ratkaisusta vain positiivinen energia otetaan huomioon. Sitten metallille, jossa Δ = 0, on neljä aaltovektoria (jos ε < μ), jotka vastaavat tasoaaltojen tasoratkaisuja . Taulukossa näkyvät kaikki yhtälön ratkaisut. Elektroneille käytetään indeksiä "e" ja positiivisen energian omaaville reikille eli johtavuuskaistalta indeksiä "h". Suprajohteen tapauksessa, kun |Δ| > 0, on erotettava kaksi tapausta. Kun energia ε > |Δ|, on ratkaisuja tasoaaltojen muodossa. Toinen tapaus vastaa ehtoa ε < |Δ|, jolloin on olemassa ratkaisuja vaimennettujen aaltojen muodossa, jotka vastaavat kvanttimekaniikassa hyvin tunnettua esteenvälisen tunneloinnin vaikutusta.

Bogolyubov-de Gennesin yhtälön ratkaisu

Parametri	Metalli	Suprajohde ε > Δ 0	Suprajohde ε < Δ 0
Aaltovektorit elektroneille	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Aaltovektorit reikiä varten	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Elektroniset aaltotoiminnot	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Reikäaaltofunktiot	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Elektroniset amplitudit	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Reikien amplitudit	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Jos nyt käytetään standarditeoriaa sirontamatriisille yksiulotteisessa tapauksessa, jossa tulevat, heijastuneet ja läpäisevät aallot kirjoitetaan yllä olevaan muotoon, voimme saada yhtälöt heijastus- ja läpäisykertoimille käyttämällä ehtoja aaltofunktion jatkuvuus rajalla ja hyppyehto derivaatalle rajalla tapauksessa, jossa lisätään mielivaltaisen korkeuden deltapotentiaali. Johtamista varten on myös ehto ryhmänopeudelle , jolloin todennäköisyysvirta siirretään tulevan, heijastuneen ja läpäisevän aallon määritelmän mukaisesti ja elektronille otetaan huomioon vain yksi tuleva aalto ja loput ovat sironneet. . Ryhmänopeudet eroavat metallilla v e/h ja suprajohteella w e/h

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Lisäksi voidaan nähdä, että suprajohteessa ryhmänopeus lähestyy nollaa energian lähestyessä raon leveyttä. Andreevin heijastuksen tapauksessa, kun Fermi-taso on paljon suurempi kuin hiukkasten ja raon energia, sironnan (heijastuksen ja läpäisyn) amplitudit kirjoitetaan muodossa

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

missä on parametri, joka määrittää esteen läpinäkyvyyden. Vastaavat todennäköisyydet ovat amplitudimoduulien neliöiden muodossa. Täysin läpinäkyvä este johtaa e → e -prosessin nollautumiseen , eli elektronien heijastusta ei tapahdu, kun taas e → h -prosessille saadaan seuraava lauseke ε < Δ 0 ${\displaystyle Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F))$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

ja vastaava todennäköisyys on 1. Suurilla energioilla ε > Δ 0 amplitudi pienenee energian kasvaessa

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepsilon }{\Delta _{0)))).

Andreevin johtavuus

Epätavallinen Andreevin heijastus

Normaalirajametalli - ferromagneetti

Suprajohde d-parilla

Grafeeni

Suprajohteen Bogolyubov-de Gennesin yhtälö on muotoa [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix)){\begin {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

missä H on Hamiltonin yhdelle hiukkaselle, E F on Fermin taso , Δ on energiaväli tai järjestysparametri , u ja v ovat elektroni- ja reikäaaltofunktiot, Θ on aikainversiooperaattori, joka otetaan käyttöön tällä suhteella

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

jossa C on kompleksinen konjugaatio . Joten ε > 0 on kvasihiukkasten positiivinen energia laskettuna Fermi-tasolta. Normaalitilan tapauksessa elektronien ja reikien yhtälöt erotetaan toisistaan ja ratkaisut ovat riippumattomia ja energialtaan symmetrisiä. Kun elektroni- ja reikäkomponenttien välinen vuorovaikutus kytketään päälle paripotentiaalin Δ avulla, muodostuu elektronien ja reikien sidotut tilat. Ilman yksipartikkelisen Hamiltonin muotoa Bogolyubov-de Gennesin yhtälöä voidaan soveltaa mihin tahansa dispersiolakiin. Grafeenin tapauksessa, jolla on lineaarinen suhde energian ja aaltovektorin välillä, Hamiltonin muoto on

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\partial _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z ovat Pauli-matriiseja , jotka eivät toimi spinavaruudessa, vaan alihilojen avaruudessa, jota kutsutaan myös pseudospiniksi, v F on Fermin nopeus, U on potentiaalienergia, joka on negatiivinen alueella. suprajohteen alla, | k | 2 = k x 2 + k y 2 on aaltovektorin neliö. Korvaamalla tämän Hamiltonin Bogolyubov-de Gennesin yhtälöön saadaan kahdeksan differentiaaliyhtälön järjestelmä aaltofunktioilla , . Tämä järjestelmä jakautuu kahteen järjestelmään, joissa kummassakin on neljä yhtälöä, mikä johtaa Dirac-Bogolyubov-de Gennesin yhtälöihin dispersiosuhteen kanssa ${\displaystyle u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T))$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

Bogolyubov-de Gennesin yhtälöä johdettaessa otettiin huomioon keskimääräinen kenttäapproksimaatio, jossa suprajohteen koherenssin pituus on paljon suurempi kuin suprajohteen Fermin pituus , mutta näiden suureiden suhde suprajohteen ja normaalimetallin kohdalla. ei ole rajoituksia, ja kaksi rajoittavaa tapausta on mahdollista, milloin ja . Nämä kaksi tapausta ovat pohjimmiltaan erilaisia: jos elektronin energia on , niin kohdassa , havaitaan tavallinen Andreevin heijastus, ja kohdassa , tapahtuu Andreevin peiliheijastus, kun heijastunut reikä säilyttää nopeusprojektion rajalle. Grafeenille ei myöskään tapahdu heijastusta silloin, kun elektronit normaalisti kohtaavat suprajohteen ja metallin rajapinnalla mahdollisten Fermi-tasojen erojen vuoksi kiraalisuuden säilymisen vuoksi , toisin kuin normaalissa metallissa, jossa heijastusta esiintyy. ${\displaystyle \xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s))$ ${\displaystyle \xi \gg \lambda _{F}^{n))$ ${\displaystyle \xi \ll \lambda _{F}^{n))$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Kosketussuprajohde - läpinäkyvä eriste - suprajohde

Kun kaksi suprajohdetta on kytketty heikosti, kuten suprajohde-eriste-superjohde (SIS) -rakenteessa, supervirta voi virrata Josephson-ilmiön vuoksi, joka johtuu kahden suprajohteen virrankantojien aaltofunktioiden kiinteästä vaihe-erosta. normaalin metallivälikerroksen poikki [8] [9 ] . Tällaista laiterakennetta kutsutaan Josephson-liitokseksi, ja liitoksen läpi kulkevan ylivirran maksimimäärä määritellään Josephsonin kriittiseksi virraksi, I c . Puhtaimmissa tavanomaisissa metalliliitoksissa ylivirran ja resistanssin tulo normaalitilassa on vakioarvo, joka on verrannollinen BCS -suprajohtavan raon kokoon - 2Δ , eli missä I c on Josephsonin kriittinen virta ja R n on metallin vastus normaalitilassa ( kaava Ambegaokara - Baratov ). Tulo I c R n ei riipu näytteen geometriasta, koska samat geometriasta riippuvat parametrit tuhoavat itsensä lausekkeissa I c ja R n . Mielenkiintoista on, että uusi mesoskooppinen järjestelmä syntyy, kun normaalin johtimen leveys w kutistuu verrattavaksi varauksenkuljettajien Fermin aallonpituuteen λ F ja sen johtavuus normaalitilassa kvantisoidaan yksiköissä e²/h, missä e on elektronin varaus ja h on Planckin vakio , joka riippuu heikosti kanavan pituuden arvolle asetetuista rajoituksista, jotka johtuvat yksiulotteisten osavyöhykkeiden muodostumisesta [10] [11] . Ennustettiin [12] , että yleistulolla I c R n =πΔ/2e on myös tärkeä rooli lyhyissä Josephson-risteyksissä, joissa on diskreetit poikittaismoodit, joissa jokainen N-moodista muodostaa itsenäisen tason, joka liittyy Andreevin heijastukseen ja myötävaikuttaa samalla tavalla. kokonaisylivirtaan [13] . Siten I c =2πNeΔ/h, vaikka tällaista järjestelmää ei ole saavutettu kokeellisesti [14] [15] . Useimmissa aiemmissa SIS-sandwich-rakenteiden tutkimuksissa liitoskohtien muodostamiseen on käytetty tavanomaisia metalleja. Näissä siirtymissä on vaikea saavuttaa järjestelmää, jossa w ~ λ F , koska on toivottavaa toteuttaa vakaa ja kontrolloitu siirtymä useita atomikerroksia leveästi [16] . Tämä rajoitus voidaan voittaa puolijohteita käytettäessä, koska niissä on pieni varauskantajien tiheys ja vastaavasti suuri Fermi-aallonpituus, koska λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , missä k F on Fermin aaltovektori ja p 2D on kaivossa olevien reikien kaksiulotteinen pitoisuus. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Sidotut tilat ja Josephson-efekti

Multiple St. Andrew's Reflection

Andreevskaya interferometria

Muistiinpanot

↑ Andreev A. F. // Kokeellisen ja teoreettisen fysiikan lehti. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98.
↑ Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98-99.
↑ A. V. Svidzinsky. Tilallisesti epähomogeeniset ongelmat suprajohtavuusteoriassa . - Nauka (Moskova), 1982. - S. 141-157 . — ISBN 9780521832465 .. (Venäjän kieli)
↑ G.E. Blonder, M. Tinkham ja T.M. Klapwijk. Siirtyminen metallisista tunnelointijärjestelmiin suprajohtavissa mikrokonstriktioissa: Ylivirta, varausepätasapaino ja supervirtamuunnos // Phys . Rev. B. - 1982. - Voi. 25 . — s. 4515 . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Reflection // Luentomuistiinpanot XXIII Physics GradDays -päiville. — 2009. (linkki, jota ei voi käyttää)
↑ Beenakker CWJ Spekulaarinen Andreevin heijastus grafeenissa // Phys . Rev. Lett.. - 2006. - Voi. 97 . — P. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Johdatus suprajohtavuuteen. - Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Suprajohtavat heikot lenkit // Rev. Mod. Phys.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
↑ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ Yksiulotteinen johtuminen GaAs-AlGaAs-heteroliitoksen 2D-elektronikaasussa // Phys. Rev. kirjaimet. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Pistekontaktin kvantisoitu konduktanssi kaksiulotteisessa elektronikaasussa // Phys. Rev. kirjaimet. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson virta suprajohtavan kvanttipistekoskettimen läpi, joka on lyhyempi kuin koherenssin pituus // Phys. Rev. kirjaimet. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Klapwijk TM :n läheisyysefekti Andreevin näkökulmasta // Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Maksimaalisen supervirran kvantisoinnin havainnointi suprajohtavassa kvanttipistekontaktissa. — Fys. Rev. Letters, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Supravirran ja konduktanssin korreloitu kvantisointi suprajohtavassa kvanttipistekontaktissa // Phys. Rev. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ Conductance and supercurrent diskontouities in atomi-scale metallic constrictions of variableds // Phys. Rev. kirjaimet. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Kirjallisuus

Yuli V. Nazarov ja Jaroslav M. Blanter. Kvanttikuljetus: Johdatus nanotieteeseen . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - P. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .