Bra ja kissa

⟨	∣	⟩
rintaliivit		ket
lampetti		ket
pian		bka

Bra ja ket ( englanniksi bra-ket < bracket bracket ) on algebrallinen formalismi (merkintäjärjestelmä), joka on suunniteltu kuvaamaan kvanttitiloja . Kutsutaan myös Dirac -merkinnöiksi . Matriisimekaniikassa tämä merkintä on yleisesti hyväksytty. Tämä merkintätapa ei ole mitään muuta kuin muuta tekstimuotoista merkintää vektoreille, kovektoreille, bilineaarisille muodoille ja sisätuloille, ja siksi sitä voidaan soveltaa (vaikkakaan ei yleisesti käytettynä) lineaarisessa algebrassa yleensä. Kun tätä merkintää käytetään lineaarisessa algebrassa, se koskee yleensä ääretöntä ulottuvuutta ja/tai lineaarista allegbraa kompleksilukujen yli.

Määritelmä ja käyttö

Kvanttimekaniikassa järjestelmän tilaa kuvaa säde erotettavissa Hilbert-avaruudessa tai vastaavasti projektitiivisen Hilbert-avaruuden elementti, jonka elementtejä kutsutaan " tilavektoreiksi " ( "ket-vektorit" ) ja merkitään symboli . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Jokaiselle ket-vektorille on osoitettu bra-vektori avaruuskonjugaatista , eli alkaen $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

Bra-vektori avaruudesta määritellään suhteella: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , mille tahansa ket-vektorille $|\rho \rangle .$

Joidenkin puhevapauksien yhteydessä joskus sanotaan, että rintaliivit vektorit "yhtyvät" vastaavien kompleksisten konjugaattiket-vektorien kanssa. Tällöin vektorit ja vektorit ylittävät funktionaaliset identifioidaan yleensä niiden laajennuksen koordinaattisarakkeilla tai riveillä vastaavassa kannassa tai ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

Rintaliivivektorin skalaaritulo ket-vektorin kanssa (tarkemmin sanottuna rintaliivin vektorin toiminta ket-vektoriin) kirjoitetaan siten, että kaksi pystysuoraa palkkia "yhtyvät" ja sulut jätetään pois. Vektorin neliö on Hilbert-avaruuden määritelmän mukaan ei-negatiivinen: Aina kun mahdollista, normalisointiehto asetetaan vektoreille, jotka kuvaavat järjestelmän tiloja. $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Lineaariset operaattorit

Jos on lineaarinen operaattori alkaen to , niin operaattorin toiminta ket-vektoriin kirjoitetaan muodossa $A\colon H\to H$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

Jokaiselle operaattorille ja bra-vektorille otetaan käyttöön funktionaali avaruudesta , eli bra-vektori kerrottuna operaattorilla , joka määritellään yhtälöllä: $A$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

mille tahansa vektorille

|\psi\rangle .

Koska hakasulkeiden sijainnilla ei ole väliä, ne jätetään yleensä pois ja kirjoitetaan yksinkertaisesti $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Tätä lauseketta kutsutaan operaattorikonvoluutioksi bra vektorilla ja ket-vektorilla , jonka arvo on skalaari ( kompleksiluku ). $A$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

Erityisesti operaattorin matriisielementti tietyllä pohjalla (tensorimerkinnällä - ) kirjoitetaan Dirac-merkinnällä as ja havaittavan (bilineaarisen muodon) keskiarvo tilassa - as $A$ ${\displaystyle A_{kl))$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Vektorien kertominen operaattorilla (vasemmalla ket-vektorit, oikealla bra-vektorit) antaa samantyyppiset vektorit ja kirjoitetaan samalla tavalla kuin lineaarisessa algebrassa (eli jos bra- ja ket-vektorit tunnistetaan vektoreilla - rivit ja sarakkeet sekä operaattorit - neliömatriiseilla):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

Schrodingerin yhtälö (kiinteälle tilalle) on muotoa:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

missä on Hamiltonin ja skalaari ( energiataso ).

H

E

Erot hakasuljemerkin ja perinteisen merkinnän välillä

Matematiikassa käytetään Hilbert-avaruuden merkintää " Hermitian " skalaaritulo , jolla on sama merkitys kuin kertomalla rintaliivit ketillä. Matemaatikot pitävät kuitenkin yleensä kulmasulkuja toiminnan merkkinä eivätkä osana vektorin nimitystä. Perinteinen matemaattinen merkintätapa, toisin kuin Dirac, ei ole symmetrinen - molempien vektorien oletetaan olevan samantyyppisiä arvoja, ja operaatio on antilineaarinen näiden kahden ensimmäisessä argumentissa. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

Toisaalta rintaliivien ja ketin tulo on bilineaarinen , mutta kahdessa eri tyyppisessä argumentissa. Konjugaatti ket-vektoriin on bravektori (missä on imaginaariyksikkö ). Kvanttimekaniikassa tämä merkintätavan omituisuus voidaan kuitenkin jättää huomiotta, koska vektorin edustama kvanttitila ei riipu sen kertomisesta millään kompleksiluvuilla modulo one . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $i$

Lisäksi rintaliivien ja ketin käyttö mahdollistaa tilan (kirjoitettu ilman sulkuja ja tikkuja) ja sitä edustavien erityisten vektoreiden välisen eron korostamisen. $\psi$

Toisin kuin algebrallinen merkintätapa, jossa kannan elementit merkitään kuten hakasulkeissa, voidaan ilmoittaa vain peruselementin indeksi : Tässä ne ovat samanlaisia kuin tensorimerkintä , mutta toisin kuin jälkimmäinen, ne mahdollistavat operaattoreiden tulojen kirjoittamisen. vektoreilla ilman ylimääräisiä (ala- tai yläindeksi) kirjaimia. $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Matemaattiset ominaisuudet

Bra ja ketiä voidaan käyttää myös puhtaassa matematiikassa osoittamaan keskenään konjugoituja lineaariavaruuksia. Jos esimerkiksi ket-vektoreita pidetään "sarakevektoreina" ja bravektoreita - "rivivektoreita". ${\mathcal {H}}=R^{n},$

Bra- ja ket-vektorien kertomista keskenään ja operaattoreilla voidaan pitää "rivi-sarakkeelta" -matriisiformalismin erikoistapauksena. Nimittäin on tarpeen laittaa ket vektorit koon matriiseiksi , bra vektorit - koon , operaattorit - koon , missä on kvanttijärjestelmän tilojen lukumäärä ( avaruuden ulottuvuus ). 1 × 1 -matriiseilla on yksi alkio ja ne identifioidaan skalaareilla. Äärettömän ulottuvuuden tila-avaruuden tapauksessa "matriiseille" (itse asiassa sarjalle ) on asetettava lisäkonvergenssiehtoja. $N\times 1$ $1\times N$ $N\times N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

Konjugaattivektorin kaava näyttää tältä:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

missä

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

Tyyppimerkintä tarkoittaa aina skalaaria. Bra-vektorissa on aina hakasulke vasemmalla ket-vektorilla - hakasulke oikealla . Myös tulo "luonnollisessa" järjestyksessä otetaan käyttöön - (samanlainen kuin sarakevektorin matriisikerroin rivivektorilla), joka antaa niin sanottu ket-rintaliivit operaattori . Operaattorilla on arvo 1 ja se on tensoritulo, ja tällaisia operaattoreita otetaan usein huomioon operaattoriteoriassa ja kvanttilaskennassa . Erityisesti operaattori (normalisoituna ) on projektio tilaan , tarkemmin sanottuna vastaavaan yksiulotteiseen lineaariseen aliavaruuteen $\langle \ldots \rangle$ $\langle,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Assosiaatio tapahtuu :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

jne.

Kirjallisuus

Belousov Yu. M. Kvanttimekaniikan kurssi. ei-relativistinen teoria. - M .: MIPT, 2006. - 408 s.
Davydov A.S. Kvanttimekaniikka. - M .: Nauka, 1973. - 704 s.
Dirac P.A.M. Kvanttimekaniikan periaatteet. - M .: Nauka, 1979. - 440 s.
Messias A. Kvanttimekaniikka. - M .: Nauka, 1978. - T. 1. - 478 s.
Shpolsky E.V. Atomifysiikka. - M .: Nauka, 1974. - T. 2. - 448 s.
Yariv A. Johdatus kvanttimekaniikan teoriaan ja sovelluksiin. - M .: Mir, 1984. - 360 s.