Nopea-hidas järjestelmä

Matematiikan nopea-hidas järjestelmä on dynaaminen järjestelmä , jossa on eri aikaskaaloilla tapahtuvia prosesseja. Tällaisen järjestelmän vaihemuuttujat on jaettu kahteen luokkaan: "nopeat" ja "hitaat" muuttujat. "Nopeiden" muuttujien muutosnopeus lähes kaikissa vaiheavaruuden kohdissa on paljon suurempi kuin "hitaiden" muuttujien muutosnopeus. Tällaisten järjestelmien liikeradat koostuvat vuorottelevista hitaiden "ajautumien" ja nopeiden "katkojen" osista. Nopeat-hidas järjestelmät kuvaavat erilaisia fyysisiä ja muita ilmiöitä, joissa asteittainen evoluutionpienten muutosten kertyminen ajan myötä johtaa järjestelmän äkilliseen siirtymiseen uuteen dynaamiseen järjestelmään. [yksi]

Aiheeseen liittyvät termit: singulaarisesti häiriintynyt järjestelmä , rentoutumisvärähtelyt , dynaamiset bifurkaatiot .

Muodollinen määritelmä ja peruskäsitteet

Tarkastellaan tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmien perhettä

${\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\piste {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\end {cases}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Jos f ja g ovat tasaisesti riippuvaisia argumenteistaan ja ovat pieni parametri , niin tällä tavalla kirjoitetun perheen sanotaan määrittelevän nopeasti hitaan järjestelmän. Muuttujaa x kutsutaan nopeaksi muuttujaksi, y :ksi hitaaksi muuttujaksi. Nopeiden ja hitaiden järjestelmien teoria tutkii tämän tyyppisten järjestelmien asymptoottista käyttäytymistä . $\varepsilon$ $\varepsilon\-0$

Hidas käyrä on joukko funktion f: nollia . Kun järjestelmää kutsutaan "nopeaksi": muuttuja y on kiinteä parametri. Hidas käyrä koostuu nopean järjestelmän kiinteistä pisteistä ja on siten sen muuttumaton monisto . Pienelle , nopeasti hidas järjestelmä on pieni häiriö nopeasta: minkä tahansa kiinteän naapuruston ulkopuolella muuttujan muutosnopeus ylittää mielivaltaisesti muuttujan muutosnopeuden . Geometrialta katsottuna tämä tarkoittaa, että hitaan käyrän läheisyyden ulkopuolella järjestelmän liikeradat ovat käytännössä samansuuntaiset nopean liikkeen akselin kanssa . (Kuvuksissa se on perinteisesti kuvattu pystysuorassa, katso kuva.) ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $x$ $y$ $x$

Hitaan käyrän osuudella, joka on pieni pienessä naapurustossa ja joka on yksilöllisesti heijastettu nopean liikkeen suuntaan (eli siinä ei ole taitoksia tai muita suunnitteluominaisuuksia), järjestelmä säilyttää muuttumattoman jakosarjan , joka on lähellä hidas käyrä . Tätä muuttumatonta monistoa kutsutaan todelliseksi hitaaksi käyräksi . Sen olemassaolo voidaan päätellä Fenichelin lauseesta tai keskusmonistojen teoriasta . Se määritetään ei-ainutlaatuisella tavalla, mutta kaikki tällaiset invarianttijoukot ovat eksponentiaalisesti lähellä (eli niiden välinen etäisyys on estimoitu ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

Nopean järjestelmän vektorikentän projektiota nopean liikkeen suuntaa pitkin hitaalle käyrälle kutsutaan hitaaksi kentällä ja tämän kentän antamaa ja hitaalle käyrälle määriteltyä yhtälöä kutsutaan hitaaksi yhtälöksi . Häiriöidyn järjestelmän (at ) dynamiikka todellisella hitaalla käyrällä approksimoidaan hitaalla yhtälöllä tarkkuudella . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Mixed system

Nopeasti-hidasteisten järjestelmien analysoinnissa on usein hyödyllistä harkita ns. sekajärjestelmää . Oletetaan, että hitaalla käyrällä dynamiikka saadaan hitaalla yhtälöllä ja hitaan käyrän ulkopuolella nopealla järjestelmällä. Tällaisen järjestelmän "rata" (ns. "yksittäinen liikerata") on paloittain sileä käyrä, joka koostuu hitaan käyrän vakaan osan vuorottelevista kaarista ja nopeista katkoksista.

Nopeissa hitaissa tason järjestelmissä (eli kun nopeat ja hitaat muuttujat ovat yksiulotteisia) tietyissä ei-degeneroituneissa olosuhteissa sekajärjestelmän yksittäiset liikeradat sallivat "simuloida" nopean järjestelmän käyttäytymistä. hidas järjestelmä pienille : "todellinen" liikerata kulkee yksikön -naapurustossa. Sen dynamiikka koostuu vuorottelevista hitaan "driftin" vaiheista lähellä hitaan käyrän vakaita osia ja nopeista "taukoista" nopean liikkeen lentoratoja pitkin. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

"Hidan" liikkeen aikana lentorata kulkee kiinteän matkan luokkaa olevassa ajassa , samalla kun sitä houkuttelee eksponentiaalisesti vastaava todellinen hidas käyrä (ja muut liikeradat). $O(1/\varepsilon )$

Rentoutumissyklit

Harkitse seuraavaa nopeasti hidasta järjestelmää, joka liittyy Van der Pol -oskillaattoriin :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\piste {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Sen hidas käyrä on kuutioinen paraabeli . (Katso kuva.) Kun otetaan huomioon sekajärjestelmä, on helppo rakentaa ns. "singulaarinen sykli", joka kulkee pisteiden , , , , kautta . Huomaa, että sykli johtuu siitä, että hidas kenttä on suunnattu oikealle kaavion yläosassa ja vasemmalle alareunassa; lisäksi hitaan käyrän epävakaassa osassa hitaalla järjestelmällä on kiinteä piste. ${\displaystyle y=xx^{3))$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

Lähellä tätä yksittäistä sykliä nopea-hidas-järjestelmällä on "todellinen" vakaa rajasykli. Todellakin, todellinen hidas käyrä lähellä segmenttiä jatkuu suorassa ajassa jumipisteen yli , hajoaa, saavuttaa hitaan käyrän alemman osan, sitten siirtyy vasemmalle lähellä segmenttiä vastaavaa todellista hidasta käyrää , käy läpi pysähtyy ylöspäin ja putoaa jälleen kaaren läheisyyteen . Liikeratojen eksponentiaalisen konvergenssin vaikutuksesta liikkuessa lähellä hitaan käyrän vakaita osia (katso edellisen osion loppu), Poincarén kartta poikittaissuuntaisesta itseensä (katso kuva) on supistumiskartta , ja siksi sillä on kiinteä piste . Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä on rajajakso. Tällaisen järjestelmän sanotaan myös kokevan rentoutumisvärähtelyjä . $\varepsilon > 0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Historiallinen katsaus

Rentouttava tärinä

Rentoutumisvärähtelyt löydettiin ensimmäisen kerran radiotekniikassa . Kuvatakseen värähtelyjä piirissä , joka sisältää kaksi vastusta , kapasitanssin , induktanssin ja tetrodin , B. Van der Pol ehdotti XX vuosisadan 20-luvun lopulla [2] toisen asteen tavallista differentiaaliyhtälöä ( Van der Pol ) yhtälö ) riippuen parametrista, jota merkitsemme . Määritetty parametri ilmaistiin ääriviivaelementtien parametrien kautta. Piirin pienillä värähtelyillä ne olivat lähellä harmonisia, mutta lisääntyessä niiden luonne muuttui, ja parametrin suurilla arvoilla oskillaatioprosessin dynamiikassa alettiin erottaa kahden tyyppisiä osia: "hidas ” muuttuu ja nopeasti ”hyppää” tilasta toiseen. Van der Pol ehdotti, että tällaisia värähtelyjä kutsutaan rentoutumisvärähtelyiksi , ja esitti hypoteesin, että , vastaavat ratkaisut muuttuvat epäjatkuviksi. (Tässä suhteessa rentoutusvärähtelyjä kutsutaan usein myös epäjatkuviksi .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Samanlaisia vaikutuksia on havaittu myös muissa fysikaalisissa järjestelmissä. A. A. Andronov ja A. A. Witt havaitsivat erityisesti analysoidessaan erilaisia multivibraattoripiirejä [1] , että jotkin "parasiittiset" parametrit (kuten johtimen resistanssi tai itseinduktanssi), jotka perinteisesti hylättiin niiden suhteellisen pienuuden vuoksi mallia rakennettaessa. , voivat vaikuttaa merkittävästi järjestelmän käyttäytymiseen: esimerkiksi osallistua positiivisen palautteen muodostukseen ja siten olla avainroolissa itsevärähtelyjen esiintymisessä . Siten heidän hylkäämisensä johti riittämättömään malliin. Aluksi pienten parametrien vaikutus otettiin huomioon ottamalla käyttöön L. I. Mandelstamin ehdottama "hyppypostulaatti" , jonka mukaan fysikaalisista syistä todettiin, että saavutettuaan tietyn tilan järjestelmä "välittömästi" siirtyy toiseen osavaltio. N. A. Zheleztsov ja L. V. Rodygin [3] [4] saivat "hyppypostulaatin" matemaattisen perustelun , ja se vaati yhtälöiden tarkastelua, joissa "parasiittinen" pieni parametri oli kerroin korkeimmalla derivaatalla ja sen sisällyttäminen lisääntyi. yhtälön järjestys – tai toisin sanoen vastaavan järjestelmän vaiheavaruuden ulottuvuus . Niinpä 1940-luvulta lähtien useat tutkijat alkoivat pohtia muotojärjestelmiä

\left\{{\begin{matrix}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{matrix} }\oikea.

((*))

tai toiseen aika-asteikkoon vaihtamisen jälkeen : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon ),\\{\piste {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\ lopeta{tapaukset}}

((**))

missä ja voivat olla yleisesti ottaen moniulotteisia koordinaatteja, ja se on pieni parametri. Klassinen van der Pol -yhtälö pelkistetään samanmuotoiseksi järjestelmäksi Liénardin muunnolla (tässä tapauksessa ). Tällaisia järjestelmiä kutsutaan nykyaikaisessa terminologiassa "fast-slow": koordinaatti - nopea, - hidas. Kiinnostava on ratkaisujen asymptoottinen käyttäytyminen . $x$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $x$ $y$ $\varepsilon\-0$

Nopeat ja hitaat järjestelmät

Järjestelmien (*) ja (**) vaihekuvat kiinteässä tilassa ovat samat, mutta rajoittava käyttäytyminen kohdassa on erilainen: rajaa (*) kutsutaan hitaaksi järjestelmäksi (se määrittelee liikkeen "hitaassa ajassa" ) ja rajaa ( *) **) kutsutaan nopeaksi . Nopean järjestelmän traktorit sijaitsevat tasoissa , ja funktion nollien joukko , jota kutsutaan hitaaksi pinnaksi , koostuu kokonaan nopean järjestelmän yksittäisistä (kiinteistä) pisteistä (jotka eivät siis ole eristettyjä). Sitä vastoin hitaan järjestelmän liikeradat ovat kokonaan hitaalla pinnalla. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $f$

Näiden rajoittavien järjestelmien huomioiminen mahdollisti "hetkellisten hyppyjen" esiintymisen selityksen. Hidas järjestelmä vastaa mallia, jonka rakentamisessa "parasiittiset" pienet parametrit hylättiin. Se kuvaa riittävästi todellisen järjestelmän käyttäytymistä pienille , mutta vain niin kauan kuin liike tapahtuu lähellä hitaan pinnan segmenttejä, jotka koostuvat nopean järjestelmän stabiileista singulaaripisteistä. Hitaan järjestelmän liikerata voi kuitenkin jossain vaiheessa saavuttaa houkuttelevan alueen rajan. Tällä hetkellä todellisen järjestelmän liikerata voi kokea pysähtymisen : poistu hitaan pinnan läheisyydestä ja vaihda hidastusliikkeestä nopeaan liikkeeseen, jonka nopea järjestelmä asettaa. Tämä on havaittu "hyppy" (hitaalla aikaskaalalla se tapahtuu "välittömästi", eli lentoradalla on epäjatkuvuus; nopealla aikaskaalalla luokkaa olevaan aikaan ), jota ei voida selittää pienten huomiotta jättämisellä. parametrit. Tässä tapauksessa nopeaa dynamiikkaa noudattava liikerata voi taas pudota hitaan pinnan vakaalle osuudelle, jonka jälkeen nopea liike korvataan jälleen hidastuneella liikkeellä jne. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Siten tuli mahdolliseksi kuvata nopeiden-hitaiden järjestelmien ratkaisujen käyttäytymistä ottamalla niissä huomioon vuorottelevat hidastuksen vaiheet hitaan pinnan vakailla osilla hitaan järjestelmän määrittämillä osilla ja pysähtymiset nopean järjestelmän liikeradalla. Jos nopeat ja hitaat koordinaatit ovat yksiulotteisia (eli otetaan huomioon nopeita ja hitaita järjestelmiä tasossa), tämä kuvaus täyttää tyypillisen järjestelmän tyypillinen lentorata. Nopeiden ja hitaiden liikkeiden osien läpi kulkeva suljettu liikerata on rentoutumissykli, joka on vastuussa rentoutumisvärähtelyjen esiintymisestä.

Tämän alueen lisätutkimus kohdistui pääasiassa asymptoottisten tekijöiden löytämiseen järjestelmän todellisten liikeradan eri parametrien suhteen ( esimerkiksi relaksaatiovärähtelyjen jakso). Merkittäviä hankaluuksia aiheutti dynamiikan analysointi murtumispisteiden läheisyydessä, missä tapahtuu siirtyminen nopeasta hidastukseen. Tämän ongelman ratkaisivat L. S. Pontryagin ja E. F. Mishchenko 1950-luvun lopulla [5] [6] . Tärkeitä tuloksia saavuttivat A. N. Tikhonov, A. B. Vasiljeva, L. Flatto, N. Levinson ja muut [7] [8] . Asymptoottisen sarjan ensimmäiset termit relaksaatiovärähtelyjen ajanjaksolle Van der Pol -yhtälössä laski ensimmäisenä A. A. Dorodnitsyn [9] . J. Haag sai 40-luvulla useita asymptotiikkaa yleiselle tapaukselle nopeasta hitaasta järjestelmästä [10] [11] . Pontrjaginin ja Mištšenkon kehittämät menetelmät mahdollistivat täydellisen asymptotiikan saamisen tyypillisten nopeiden ja hitaiden järjestelmien ratkaisuille tasossa, joita kuvasivat E. F. Mishchenkon ja N. Kh. Rozovin monografiassa , josta on tullut klassikko [12] . . $\varepsilon$ $\varepsilon\-0$

Kiristävä nurjahdus ja ankat

Kävi kuitenkin ilmi, että tämä yksinkertainen kvalitatiivinen kuvaus ei tyhjennä kaikkia mahdollisia nopeiden-hidtaiden järjestelmien liikeratoja. Joten 70-luvulla Pontryagin havaitsi vakauden menettämisen viivästymisen ilmiön : kävi ilmi, että analyyttisissä nopeasti hitaissa järjestelmissä, joissa on kaksiulotteinen nopea koordinaatti, vakauden rajan ylittämisen jälkeen lentorata voi pysyä pitkään lähellä hitaan pinnan jo epävakaa osa (joka kulkee sitä pitkin erotettuna nollaetäisyydestä), ja vasta sitten läpimurto ja siirtyminen nopeaan liikkeeseen. Erityisessä esimerkissä tätä vaikutusta tutkittiin M. A. Shishkovan [13] työssä vuonna 1973, joka suoritettiin Pontryaginin ohjauksessa; yleistä tapausta analysoi A. I. Neishtadt [14] vuonna 1985.

Samanlaisen vaikutuksen havaitsivat J. Riban opiskelijat (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] 80-luvun alussa nopeissa ja hitaissa järjestelmissä, joissa oli yksi nopea ja yksi hidas. muuttuja. He tutkivat relaksaatiorajasyklin syntyä Van der Pol -järjestelmässä lisäparametrilla. Kävi ilmi, että kun tämä parametri kulkee kiinteässä tilassa eksponentiaalisesti kapea (in ) intervalli (eli järjestyksen pituinen intervalli ), Andronov-Hopf-haaroittumisen seurauksena syngulaaripisteestä syntynyt rajasykli kulkee useiden evoluution vaiheet ennen kuin ne saavat klassisen rentoutumissyklin muodon. Tässä tapauksessa, kuten kävi ilmi, parametrin väliarvoille vastaavat rajasyklit kulkevat lähellä joitain hitaan käyrän epävakaan osan kaaria. Tällaisia lentoreittejä kutsuttiin "ankoiksi" ( ranskalainen canard , nyt käytetään myös englantilaista englanninkielistä ankkaa ) - osittain vastaintuitiivisesta vaikutuksesta, joka aluksi pidettiin "sanomalehti ankana", osittain sen muodon vuoksi, joka muistutti epämääräisesti lentävää ankkaa. [7] [17] . Kuderatkaisuja on löydetty erilaisissa kemiallisissa, biologisissa ja muissa malleissa. [kahdeksantoista] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Aluksi ankkaliuoksia tutkittiin epästandardin analyysin menetelmin , mutta pian niihin pystyttiin soveltamaan jo klassisia asymptoottisten sarjojen menetelmiä (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S. Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), ja myöhemmin - singulaarisesti häiriintyneiden järjestelmien geometrinen teoria (kehittäjä N. Fenichel [22] ) puhallusmenetelmällä (F. Dumortier ja R. Roussari [ 21]). 23] , M. Krupa ja P. Smolyan [24] ). Kävi ilmi, että ankkaratkaisut ovat "harvinainen" ilmiö tasojärjestelmissä. Erityisesti houkuttelevat kudejaksot, jotka voidaan havaita numeerisen kokeen aikana, näkyvät vain lisäparametrin läsnä ollessa, ja tämän parametrin "kude"-arvojen joukko kiinteälle arvolle on eksponentiaalisesti kapea . $\varepsilon$ $\varepsilon$

Vuonna 2001 Yu. S. Ilyashenko ja J. Guckenheimer löysivät [25] pohjimmiltaan uuden käyttäytymisen nopeille ja hitaille järjestelmille kaksiulotteisessa toruksessa. Osoitettiin, että jollekin tietylle järjestelmäperheelle, lisäparametrien puuttuessa, mielivaltaisen pienellä arvolla järjestelmällä voi olla vakaa ankkajakso. Myöhemmin I. V. Shchurov osoitti [26] , että samanlainen ilmiö havaitaan myös tyypillisellä tavalla - joissakin avoimessa nopea-hidas-järjestelmien joukossa. $\varepsilon$

Kirjallisuus

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Bifurkaatioiden teoria // Dynaamiset järjestelmät-5. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov Dynaamisten järjestelmien teorian kehityksestä viimeisen neljännesvuosisadan aikana , luku Singulaaristen häiriöiden teoria .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Värähtelyn teoria. – 2. painos. - 1959. - S. 727-855. — 914 s.
↑ van der Pol, B. , On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh ja Dublin Phil. Mag. ja J. of Sci., 2 :7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. Symmetrisen multivibraattorin teoriasta. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , Epäjatkuvien värähtelyjen teoriasta toisen asteen järjestelmissä. Izv. korkeakouluissa. Radiophysics 1 :1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Differentiaaliyhtälöjärjestelmien ratkaisujen asymptoottinen käyttäytyminen pienellä parametrilla korkeammilla derivaatoilla, Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat. 21 :5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin, Joidenkin asymptoottisten arvioiden johtaminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuille pienellä parametrilla derivaatoissa, Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat. 23 :5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Iljashenko, L. P. Šilnikov. Dynaamiset järjestelmät - 5. VINITI, Nykyaikaiset matematiikan ongelmat. perussuuntia. 5 , 1986.
↑ katso teoksia, joihin viitataan julkaisuissa V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Dynaamiset järjestelmät - 5. VINITI, Nykyaikaiset matematiikan ongelmat. perussuuntia. 5 , 1986 ja E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentiaaliyhtälöt pienellä parametrilla ja rentoutusvärähtelyillä, Moskova, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , Van der Polin yhtälön asymptoottinen ratkaisu, Prikl. matematiikka. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole standardi. Sup. 60 (1943).
↑ Haag J. Esimerkkejä rentoutumisen asymptoottisista värähtelyistä. Ann. sci. Ecole standardi. Sup. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentiaaliyhtälöt pienellä parametrilla ja rentoutumisvärähtelyt, Moskova, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Differentiaaliyhtälöjärjestelmän tarkastelu pienellä parametrilla korkeammilla derivaatoilla, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Asymptoottinen tutkimus tasapainon stabiilisuuden menetyksestä, kun ominaisarvopari kulkee hitaasti kuvitteellisen akselin läpi. Onnea matto. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J. F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard irchained or kuinka nopeasti/hidas dynaamiset järjestelmät jakautuvat, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards Arkistoitu 9. helmikuuta 2019 the Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Katso esim. J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci. 12 :4, 319-345 ja siellä siteeratut teokset.
↑ W. Eckhaus , Rentoutumisvärähtelyt, mukaan lukien ranskalaisten ankkojen tavallinen takaa-ajo, julkaisussa Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Yu. Kolesov, E. F. Mištšenko. Pontryaginin vetoilmiö ja vakaat ankkasyklit moniulotteisista rentoutusjärjestelmistä yhdellä hitaalla muuttujalla. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodiset liikkeet ja bifurkaatioprosessit singulaarisesti häiriintyneissä järjestelmissä. Moskova, "Fysikaalis-matemaattinen kirjallisuus", 1995
↑ N. Fenichel , Geometrinen singulaarihäiriöteoria tavallisille differentiaaliyhtälöille, J. of Diff. Eq., 31 (1979), ss. 53-98.
↑ F. Dumortier ja R. Roussarie , Canard-pyörät ja keskijakoputket, Mem. amer. Matematiikka. Soc. 121 :577 (1996).
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , Geometrisen singulaarihäiriöteorian laajentaminen ei-hyperbolisiin pisteisiin - taite- ja canard-pisteet kahdessa ulottuvuudessa, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Iljashenko , Ankka ja paholainen: Kanardit portaissa, Moskova Math. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Ducks on the toru: olemassaolo ja ainutlaatuisuus (ei käytettävissä oleva linkki) , Journal of dynamical and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.