Todella arvokas toiminto

Reaaliarvoinen funktio on funktio, jonka arvot ovat reaalilukuja . Toisin sanoen se on funktio, joka määrittää reaaliluvun jokaiselle funktion laajuuden elementille.

Reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot (jota kutsutaan yleisesti reaalifunktioiksi ) ja useiden reaalimuuttujien reaaliarvoiset funktiot ovat pääasiallinen tutkimuskohde matemaattisessa analyysissä ja tarkemmin sanottuna funktioteoriassa. todellinen muuttuja . Erityisesti monet funktioavaruudet koostuvat reaaliarvoisista funktioista.

Algebrallinen rakenne

Olkoon kaikkien funktioiden joukko, jotka kuvaavat joukon X reaalilukuihin . Koska on kenttä , voidaan muuttaa vektoriavaruudeksi kommutatiivisella algebralla seuraavilla operaatioilla: ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — vektorin lisäys
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - tyhjä elementti
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - skalaari
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ - pistekohtainen kertolasku.

Nämä operaatiot ulottuvat osittain määriteltyihin funktioihin X :stä rajoituksella , että osittain määritellyt funktiot ja ne määritellään vain, jos toimialueilla f ja g on ei-tyhjä leikkauspiste. Tässä tapauksessa näiden funktioiden määrittelyalue on määritelmän f ja g alueiden leikkauspiste . ${\mathbb R},$ $f+g$ $fg$

Lisäksi, koska kyseessä on tilattu sarja, on myös osittainen tilaus : $\mathbb {R}$

\f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)

in , mikä tekee osittain tilatun sormuksen . ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

Mitattavuus

$\sigma$ -Borel -joukkojen algebra on tärkeä rakenne reaaliluvuilla. Jos X :llä on -algebra ja funktio f on sellainen, että minkä tahansa Borel-joukon B käänteiskuva f −1 ( B ) kuuluu tähän -algebraan, niin funktion f sanotaan olevan mitattavissa . Mitattavat funktiot muodostavat myös vektoriavaruuden yllä kuvatulla algebralla . $\sigma$ $\sigma$

Lisäksi X :n reaaliarvoisten funktioiden joukko (perhe) voidaan itse asiassa määritellä X :n -algebraksi , kuten kaikki Borel-joukkojen käänteiset kuvat (tai vain intervallit , mikä ei ole niin välttämätöntä). Tällä tavalla -algebrat esiintyvät todennäköisyysteoriassa ( Kolmoggorov ), jossa reaaliarvoiset funktiot alkeistapahtumien avaruudessa Ω ovat reaaliarvoisia satunnaismuuttujia . $\sigma$ $\sigma$

Jatkuvuus

Reaaliluvut muodostavat topologisen avaruuden ja täydellisen metriavaruuden . Jatkuvat reaaliarvoiset funktiot (olettaen, että X on topologinen avaruus) ovat tärkeitä topologisten ja metristen avaruuksien teorioissa . Ääriarvolause sanoo, että millä tahansa todellisella jatkuvalla funktiolla kompaktissa avaruudessa on maksimi tai minimi .

Itse metriavaruuden käsite määritellään kahden muuttujan reaaliarvoisella funktiolla, jatkuvalla metriikalla . Jatkuvien funktioiden tila kompaktissa Hausdorch-tilassa on erityisen tärkeä. Sekvenssien rajat voidaan nähdä myös reaaliarvoisina jatkuvina funktioina erityisellä topologisella avaruudella.

Jatkuvat funktiot muodostavat myös vektoriavaruuden yllä olevan algebran kanssa ja ovat mitattavien funktioiden alaluokka , koska missä tahansa topologisessa avaruudessa on avoimista (tai suljetuista) joukoista muodostettu -algebra. $\sigma$

Tasaisuus

Reaalilukuja käytetään koodidomeenina määrittämään sujuvat funktiot. Todellisen sileäfunktion toimialue voi olla: reaalinen koordinaattiavaruus (joka antaa useiden reaalimuuttujien funktioita ), topologinen vektoriavaruus , [1] sen avoin osajoukko tai sileä monisto .

Tasaisten funktioiden avaruudet ovat myös vektoriavaruuksia edellä kuvatuilla algebroilla ja ne ovat jatkuvien funktioiden alaluokkia .

Mittateoriassa

Joukon mitta on ei-negatiivinen reaaliarvoinen funktio osajoukkojen -algebralla [2] . Mittausjoukoissa olevat tilat määritellään edellä mainituista reaaliarvoisista mitattavissa olevista funktioista , vaikka ne ovatkin itse asiassa osamääräavaruuksia . Tarkemmin sanottuna: ottaen huomioon, että funktio, joka täyttää sopivat summausehdot , määrittelee avaruuden elementin . Päinvastaiseen suuntaan: kaikille funktioille ja pisteille , jotka eivät ole atomi , f ( x ) -arvo on määrittelemätön . Reaaliarvoisissa tiloissa on kuitenkin edelleen joitain yllä kuvatuista rakenteista . Jokainen avaruus on vektoriavaruus, sillä on osittainen järjestys, ja "funktioista" on pistekohtainen kertolasku, joka muuttaa p , nimittäin: $\sigma$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$ $f\in \mathrm {L} (X)$ $x\in X$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.

Esimerkiksi kahden L 2 -funktion pistetulo kuuluu L 1 :een .

Muut sovellukset

Muut kontekstit, joissa käytetään reaaliarvoisia funktioita ja niiden ominaisuuksia: monotonifunktiot ( järjestetyissä joukoissa ), konveksifunktiot (vektori- ja affiineavaruuksissa ), harmoniset ja aliharmoniset funktiot ( Riemannin moninkertaisuuksissa ), analyyttiset funktiot (yleensä yhdestä tai useammasta reaalista muuttujat), algebralliset funktiot (todellisissa algebrallisissa variaatioissa ) ja polynomit (yhdessä tai useammassa muuttujassa).

Katso myös

Reaalimuuttujan funktioiden teoria
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt - kenttä, jossa käytetään usein reaaliarvoisia funktioita
Normi (matematiikka)
Skalaari

Muistiinpanot

↑ Derivaatalla on yleisessä tapauksessa toinenkin määritelmä , mutta äärellisille ulottuvuuksille se johtaa vastaavaan tasofunktioiden luokkien määritelmään.
↑ Itse asiassa suurella voi olla arvoja : katso laajennettu numerorivi . $[0,+\infty ]$

Kirjallisuus

Apostol, Tom M. Matemaattinen analyysi. – 2. - Addison-Wesley, 1974. - ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerald Folland. Todellinen analyysi: nykyaikaiset tekniikat ja niiden sovellukset. - Toinen painos. - John Wiley & Sons, Inc., 1999. - ISBN 0-471-31716-0 .
Walter Rudin. Matemaattisen analyysin periaatteet. – 3. - New York: McGraw-Hill, 1976. - ISBN 978-0-07-054235-8 .
- Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet / Kääntäjä V.P. Khavin. - toinen. - Moskova: Mir, 1976.

Linkit

Weisstein, Eric W. Real Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .