Cypertin hyperboli

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kiepert- hyperbola on tietyn kolmion määrittelemä hyperbola . Jos jälkimmäinen on yleisasennossa oleva kolmio, tämä hyperbola on ainoa kartiomainen leikkaus, joka kulkee sen kärkien, ortosenterin ja painopisteen kautta .

Määritelmä isogonaalisen konjugaation kautta

Kiepert-hyperbola on käyrä, joka on isogonaalisesti konjugoitu suoraan viivaan, joka kulkee Lemoinen pisteen ja tietyn kolmion rajatun ympyrän keskipisteen kautta.

Piirretyn ympyrän ja Lemoinen pisteen läpi kulkevaa suoraa kutsutaan Brocardin akseliksi . Apolloniuksen pisteet ovat siinä . Toisin sanoen Kiepert-hyperbola on käyrä, joka on isogonaalisesti konjugoitu tietyn kolmion Brocard -akseliin .

Määritelmä kolmioiden muodossa kolmiviivaisissa koordinaateissa

Määritelmä kolmioiden muodossa trilineaarisissa koordinaateissa [1] :

Jos kolme kolmion sivuille rakennettua kolmiota ovat samanlaisia , tasakylkisiä , joiden kantat ovat alkuperäisen kolmion sivuilla, ja sijaitsevat samalla tasolla (eli ne kaikki on rakennettu joko ulkopuolelta tai sisältä), viivoja ja leikkaa yhdessä pisteessä .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Tällöin Kiepertin hyperbola voidaan määritellä pisteiden paikaksi (katso kuva).

N

Jos yhteinen kulma pohjassa on , niin kolmen kolmion kärjellä on seuraavat kolmiviivaiset koordinaatit: $\theta$

$X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Kiepertin hyperbelin päällä olevan mielivaltaisen pisteen N kolmiviivaiset koordinaatit

(\operaattorin nimi {cosec} (A+\theta ):\operaattorin nimi {cosec} (B+\theta ):\operaattorin nimi {cosec} (C+\theta ))

Kiepertin hyperboliyhtälö trilineaarisissa koordinaateissa

Pisteiden paikka, kun kulma muuttuu kolmioiden pohjassa välillä ja on Kiepertin hyperboli yhtälön kanssa $N$ $\theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

jossa , , ovat kolmion pisteen trilineaariset koordinaatit . $x$ $y$ $z$ $N$

Kiepertin hyperbelin tunnetut kohdat

Kiepertin hyperbelin pisteiden joukossa on sellaisia tärkeitä kolmion pisteitä [2] :

Merkitys $\theta$	Piste $N$
$0$	$G$ , kolmion keskipiste (X2) $ABC$
$\pi/2$ (tai ) $-\pi /2$	$O$ , kolmion ortokeskiö (X4) $ABC$
$\operaattorin nimi {arctg} [\operaattorin nimi {tg} (A/2)\operaattorin nimi {tg} (B/2)\operaattorin nimi {tg} (C/2)]$ [3]	Spieker Center (X10)
$\pi /4$	Vecten-pisteet (X485)
$-\pi /4$	Vecten-pisteet (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , Napoleonin ensimmäinen piste (X17)
$-\pi /6$	$N_2$ , toinen Napoleon-piste (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , ensimmäinen Fermat-piste (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$ , toinen Fermat-piste (X14)
$-A$ (jos ) (jos ) $A<\pi /2$ ${\näyttötyyli \pi -A}$ $A>\pi /2$	Vertex $A$
${\näyttötyyli -B}$ (jos ) (jos ) $B<\pi /2$ ${\näyttötyyli \pi -B}$ $B>\pi /2$	Vertex $B$
$-C$ (jos ) (jos ) $C<\pi /2$ $\pi -C$ $C>\pi /2$	Vertex $C$

Luettelo Kiepertin hyperbelin pisteistä

Kiepertin hyperboli kulkee kolmion X(i) [3] seuraavien keskipisteiden läpi :

kun i=2, ( kolmion keskipiste ),
i=4 ( Orthocenter ),
i=10 ( Spieker center ; eli kolmion keskipiste, jonka kärjet ovat annetun kolmion ABC [1] sivujen keskipisteissä ),
i=13 (ensimmäinen Fermat-piste ), i=14 (toinen Fermat-piste ),
i=17 ( ensimmäinen Napoleon-piste ), i=18 ( toinen Napoleon-piste ),
i=76 (kolmas Brocard-piste ),
i=83 (piste konjugoitu isogonaalisesti Brocard-pisteiden keskipisteeseen [1] ),
i = 94, 96,
i=98 ( Tarry point = Tarry point),
i = 226, 262, 275, 321,
i=485 ( Vectenin ulkoinen piste ), i=486 ( Vectenin sisäinen piste ),
i = 598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i = 1139 (sisä viisikulmion piste), i = 1140 (ulompi viisikulmion piste),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i = 2671 (ensimmäinen kultainen arbelospiste = ensimmäinen kultainen arbelospiste),
i = 2672 (toinen kultainen arbelospiste = toinen kultainen arbelospiste),
i = 2986, 2996

Leicesterin lauseen yleistäminen B. Gibertin lauseen muodossa (2000)

B. Gibertin lause (2000) yleistää Leicesterin ympyrälauseen , nimittäin: mikä tahansa ympyrä, jonka halkaisija on kolmion Kiepert-hyperbolin jänne ja on kohtisuorassa sen Euler-viivaa vastaan, kulkee Fermatin pisteiden läpi [4] [5] .

Historia

Tämä hyperbola on nimetty saksalaisen matemaatikon Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepertin mukaan, joka löysi sen (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Ominaisuudet

Kiepertin hyperbola on tasasivuinen tai tasasivuinen (eli sen asymptootit ovat kohtisuorassa), joten sen keskipiste, joka on merkitty kolmioiden keskipisteiden tietosanakirjassa X (115), sijaitsee Eulerin ympyrällä .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , s. 188-205.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ B. Gibert (2000): [Viesti 1270] . Osallistuminen Hyacinthos-verkkofoorumiin, 22.8.2000. Käytetty 9.10.2014.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry ja niiden yleistykset Arkistoitu 7. lokakuuta 2021 Wayback Machinessa . Forum Geometricorum, osa 10, sivut 175-209. MR : 2868943

Kirjallisuus

Eddy R. H., Fritsch R. . Ludwig Kiepertin kartiot: Kolmion geometrian kattava oppitunti // Math Magazine , 1994, 67 . - s. 188-205.