Grigorchukin ryhmä

Grigorchuk-ryhmä on ensimmäinen esimerkki äärellisesti generoidusta välikasvun ryhmästä (eli sen kasvu on nopeampaa kuin polynomi, mutta hitaampi kuin eksponentiaalinen).

Grigorchuk rakensi esimerkin, välikasvun hän todisti vuoden 1984 artikkelissaan [1] [2] . Tämä vastasi Milnorin vuonna 1968 esittämään kysymykseen [3] .

Rakentaminen

Ryhmä rakennetaan toiminnallaan äärettömään täydelliseen binääripuuhun.

Infinite Complete Binary Tree

Tarkastellaan ääretöntä täydellistä binäärijuurista puuta T 2 ja sen automorfismia . Tämä puu on isomorfinen minkä tahansa alipuunsa kanssa, joten mitä tahansa sen automorfismia voidaan soveltaa mihin tahansa alipuuhun.

Puun T 2 jokainen kärki voidaan merkitä aakkoston Σ = {0,1} kaikkien äärellisten merkkijonojen joukon Σ * alkiolla , mukaan lukien tyhjä merkkijono Ø. Tyhjä merkkijono Ø vastaa juurisolmua T 2 . Jokaisen solmun vasemman lapsen nimi saadaan lisäämällä 0, oikean - 1.

Puun T2 automorfismi säilyttää polun juurisolmusta mihin tahansa toiseen eikä siirrä mitään solmua tasolta toiselle. Näiden ominaisuuksien täyttyminen riittää, jotta puun kärkijoukon permutaatio on puun automorfismi. Siksi kaikkien automorfismien ryhmä Aut( T 2 ) vastaa kaikkien sellaisten merkkijonojoukon Σ * permutaatioiden σ ryhmää, jotka säilyttävät merkkijonon pituuden (eli pituuden x on oltava yhtä suuri kuin pituuden σ ( x ) ) ja säilytä relaatio "merkkijonon alkusegmentti" (eli jos merkkijono x on merkkijonon y alkusegmentti , niin σ ( x ) on σ ( y ) alkusegmentti ).

Formatiivit

Grigorchukin ryhmä G määritellään ryhmän Aut( T2 ) alaryhmäksi , jonka muodostavat tietyt neljä elementtiä a, b, c, d , eli . $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

Mitä tulee 0:sta ja 1:stä koostuvien merkkijonojen muuntamiseen, automorfismit a, b, c, d määritellään rekursiivisesti seuraavasti:

a ( 0x ) = 1x , a ( 1x ) = 0x ;
b ( 0x ) = 0a ( x ) , b ( 1x ) = 1c ( x );
c ( 0x ) = 0a ( x ) , c ( 1x ) = 1d ( x );
d (0 x ) = 0 x , d (1 x ) = 1 b ( x )

jokaiselle x :lle Σ*:ssa. Esimerkiksi:

a (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11100
d (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 d (01) = 11101

Mitä tulee binääripuumuunnokseen, elementti a vaihtaa sen puun vasemman ja oikean alipuun, johon se vaikuttaa. Loput elementit toimivat erikseen kummassakin näistä kahdesta alipuusta, nämä elementit voidaan esittää rekursiivisesti pareittain (parin kaksi elementtiä vastaavat vasemman ja oikean alipuun toimintaa):

b = ( a , c ),
c = ( a , d ),
d = ( 1 , b ).

Tässä b = ( a , c ) tarkoittaa, että b ei muuta juuria T2 , toimii vasemmassa alipuussa a : na ja oikealla c :nä . Tässä 1 tarkoittaa identiteettikartoitusta .

Ei-rekursiivisessa esityksessä elementtien b , c , d toiminta näyttää tältä: alkaen juuresta, siirrytään alaspäin valitsemalla jokaisessa vaiheessa oikea lapsi; samaan aikaan operaatiota a sovelletaan vasempaan alipuuhun joka kerta (vaihtamalla sen kaksi alipuuta), paitsi joka kolmatta vaihetta alkaen kolmannesta, toisesta ja ensimmäisestä vaiheesta b , c ja d vastaavasti [4] .

Generaattorin ominaisuudet

Alla on tämän rakenteen tärkeimmät seuraukset [5] .

Jokaisen elementin a, b, c, d kertaluku on 2 G :ssä .
Elementit b, c, d liikkuvat pareittain ja bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- Erityisesti on Abelin ryhmä luokkaa 4; se on isomorfinen kahden kertaluvun 2 syklisen ryhmän suoralle tulolle. $\langle b,c,d\rangle$
Ryhmän G muodostaa a ja mitkä tahansa kaksi kolmesta elementistä b, c, d (esimerkiksi ). $G=\langle a,b,c\rangle$
Yllä olevassa rekursiivisessa merkinnässä . $aba=(c,a),\ aca=(d,a),\ ada=(b,1)$
Stabilisaattori St G [1] G : ssä on alaryhmä, jonka muodostavat b, c, d, aba, aca, ada . Alaryhmä St G [1] on normaali indeksin 2 alaryhmä G , ja G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqcup$
Jokainen G :n elementti voidaan kirjoittaa (positiivisena) sanana kirjaimista a, b, c, d ilman muotoa aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db olevia osasanoja .
- Tällaisia sanoja kutsutaan lyhenteiksi .
- "Positiivinen sana" tarkoittaa tässä sitä, että vastaavassa merkinnässä ei ole elementtejä a -1 , b -1 tms. Koska kaikilla näillä generaattoreilla on kertaluku 2, eli ne ovat käänteisiä itselleen, tämä on helppo ehto.
Lyhennetty sana on elementti stabilisaattorista St G [1], jos ja vain, jos tämä sana sisältää parillisen määrän a esiintymiä .
Jos w on parillinen lyhennetty sana, jolla on positiivinen parillinen määrä esiintymiä a , silloin on joitakin sanoja u, v kirjoitettuna a, b, c, d (ei välttämättä lyhennetty) siten, että G :llä on w = (u, v ) ja | u | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Jos w on parittoman pituinen lyhennetty sana, jolla on positiivinen parillinen määrä a:n esiintymiä , niin tämäkin väite on totta, mutta epäyhtälöt ovat muotoa: | u | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

Viimeisellä ominaisuudella on keskeinen rooli monissa todisteissa, koska se mahdollistaa induktion käytön sanan pituudessa.

Ominaisuudet

Ryhmä G on ääretön. [2]
Ryhmä G on jäännösäärinen . [2]
Ryhmä G on 2-ryhmä , eli jokaisella G :n elementillä on äärellinen järjestys , joka on luvun 2 potenssi. [1]
Ryhmässä G on välikorkeus . [2]
- Erityisesti ryhmä G on soveltuva . [2]
- Grigorchuk osoitti, että ryhmän G kasvu on ja välillä . ${\näyttötyyli \gamma (n)}$ $\exp n^{s_{1)),\ s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\ s_{2}=\log _{32}31\noin 0{,}991$
- Myöhemmin löydettiin eksponentin tarkka arvo eksponenteissa : , missä on polynomin todellinen juuri [6] . $n$ ${\näyttötyyli \gamma (n)}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\noin 0,7674$ $x$ $x^{3}-x^{2}-2x-4$
Jokainen ei-triviaalin normaaliryhmän osamääräryhmä G on äärellinen.
Jokainen äärellisesti generoitu aliryhmä on suljettu profinite-topologiassa G :ssä . [7]
Jokaisella G :n suurimmalla alaryhmällä on äärellinen indeksi . [kahdeksan]
Ryhmä G on äärellisesti generoitu, mutta ei äärellisesti annettu . [2] [9]
Elementin keskittäjä generoidaan äärellisesti silloin ja vain, jos elementti on konjugoitu generoivaan elementtiin "a" [10]
Alemman keskirivin jäsenten indeksejä rajoittaa ylhäältä numero 4 [11]
Esimerkkejä maksimaalisista paikallisesti äärellisistä alaryhmistä löydettiin, ne osoittautuivat äärettömiksi [12]

Katso myös

Viitteet

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, "On the Burnside problem on periodic groups" Arkistoitu 25. tammikuuta 2021 osoitteessa Wayback Machine , Funct. analyysi ja sen sovellukset, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, "Äärillisesti muodostettujen ryhmien kasvuasteet ja invarianttien keskiarvojen teoria" Arkistoitu 20. syyskuuta 2016 paikassa Wayback Machine , Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat. 48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Ongelma nro. 5603, American Mathematical Monthly , voi. 75 (1968), ss. 685-686.
↑ Rostislav Grigorchuk, Igor Pak. Välikasvun ryhmät: esittely : [ eng. ] // L'Enseignement Mathematique. - 2008. - Voi. 54. - s. 251-272. — arXiv : math/0607384 . - doi : 10.5169/tiivisteet-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. Geometrisen ryhmäteorian aiheita. Chicagon matematiikan luennot. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Ch. VIII, Ensimmäinen Grigorchuk-ryhmä, s. 211–264.
↑ Anna Erschler ja Tianyi Zheng. Jaksottaisten Grigorchuk-ryhmien kasvu // Inventiones mathematicae. - 2020. - Vol. 219.—s. 1069–1155. - doi : 10.1007/s00222-019-00922-0 .
↑ R.I. Grigorchuk ja J.S. Wilson. Alaryhmien abstraktia vertailukelpoisuutta koskeva rakenteellinen ominaisuus. Arkistoitu 24. toukokuuta 2011 julkaisuun Wayback Machine Journal of the London Mathematical Society (2), voi. 68 (2003), nro. 3, s. 671–682.
↑ E. L. Pervova. Kaikkialla tiheät puun automorfismiryhmän alaryhmät // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, "Suhteiden määrittelyjärjestelmä Grigorchuk-ryhmälle" Arkistokopio 13. helmikuuta 2018 Wayback Machinessa , Mat. muistiinpanot, 38:4 (1985), 503-516
↑ A.V. Rožkov. Elementtien keskittäjät yhteen puuautomorfismien ryhmään // Izv. RAN. Ser. matto .. - 1993. - T. 57 , nro 6 . - S. 82-105 . Arkistoitu 26. lokakuuta 2020.
↑ A.V. Rožkov. Puun yhden automorfismiryhmän alakeskisarja // Math. muistiinpanot .. - 1996. - T. 60 , nro 2 . - S. 225-237 . Arkistoitu alkuperäisestä 23. heinäkuuta 2018.
↑ A. V. Rožkov. Maksimimääräiset paikallisesti rajalliset alaryhmät Grigorchuk-ryhmässä // Math. muistiinpanot .. - 1998. - T. 63 , nro 4 . — S. 617–624 . Arkistoitu 25. marraskuuta 2020.