Schlegelin kaavio
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .Schlegel-kaavio on polytoopin projektio pisteestä toiseen sen pinnan takana olevan pisteen läpi . Tuloksena oleva luku vastaa kombinatorisesti alkuperäistä polytooppia. Kaavio on nimetty Viktor Schlegelin mukaan, joka ehdotti tätä menetelmää vuonna 1886 polytooppien kombinatoristen ja topologisten ominaisuuksien tutkimiseksi. Dimensioissa 3 ja 4 Schlegel-kaaviot ovat (3-ulotteisen) monitahoisen projektio tasokuvaksi ja 4 -ulotteisen monitahoisen projektio kolmiulotteiseen avaruuteen . Sellaisenaan Schlegel-kaavioita käytetään usein visualisoimaan 4D-polyhedraa.
Rakentaminen
Alkeisimman kuvauksen Schlegel-kaaviosta monitahoiselle on Duncan Sommerville [1] :
Erittäin hyödyllinen menetelmä kuperan polyhedronin esittämiseksi on tasoprojektio. Jos tämä projektio on ulkopuolelta, koska jokainen säde kulkee monitahoisen kahdesti, sitä edustaa monikulmioalue, joka on jaettu kahdesti monikulmioihin. Projektiokeskus on aina sopiva valinta siten, että yhden pinnan projektio sisältää kaikkien muiden pintojen projektiot. Tätä kutsutaan monitahoisen Schlegel-diagrammiksi . Schlegel-kaavio edustaa täysin polyhedronin morfologiaa. Joskus on kätevää projisoida monitahoinen kärjestä. Huippupiste heijastetaan äärettömyyteen, eikä se näy kaaviossa, siihen menevät reunat edustavat äärettömyyteen meneviä säteitä.Sommerville pohti myös simplexin tapausta neliulotteisessa avaruudessa [2] : "Schlegel-kaavio S 4 :n simplexistä on tetraedri , joka on jaettu neljään tetraedriin." Yleisemmin n-ulotteisessa avaruudessa olevalla polytoopilla on Schlegel-diagrammi, joka on rakennettu käyttämällä perspektiiviprojektiota polytoopin ulkopuolisen pisteen läpi, kasvojen keskikohdan yläpuolella. Kaikki polytoopin kärjet ja reunat projisoidaan tämän kasvon hypertasolle . Jos polytooppi on kupera, pinnan lähellä on piste, jossa tämä pinta tulee ulommaksi, ja kaikki muut pinnat ovat sen sisällä, kun taas reunat eivät leikkaa.
Esimerkkejä
| Dodekaedri | 120 solua |
|---|---|
12 viisikulmaista pintaa tasossa |
120 dodekaedria (solua) 3-ulotteisessa avaruudessa |
Erilaiset ikosaedrin visualisointityypit
näkökulmasta |
skannata |
projektio |
petri |
Schlegel |
Vertex figuuri |
Katso myös
- Avaaminen on toinen lähestymistapa renderöintiin alemman ulottuvuuden monitahojen kautta, jolloin kasvoja vedetään erilleen ja avataan , kunnes kaikki pinnat ovat samassa hypertasossa. Tällainen esitys säilyttää geometriset mitat ja muodon, mutta topologisia suhteita on vaikeampi ottaa huomioon.
Muistiinpanot
- ↑ Sommervill, 1929 , s. 100.
- ↑ Sommervill, 1929 , s. 101.
Kirjallisuus
- Duncan Sommerville. Johdatus N-mitan geometriaan. - EP Dutton, 1929. Uusintapainos 1958, Dover Books .
- Victor Schlegel . Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde . - Druck von E. Blochmann & Sohn Dresdenissä, 1883. - T. Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher XLIV. Arkistoitu12. maaliskuuta 2007Wayback Machinessa
- Victor Schlegel. Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper. - Warren, 1886.
- HSM Coxeter . Tavallisia polytooppeja. - Methuen and Co., 1948. - S. 242.
- Tavallisia polytooppeja. – 3. painos. - Dover-painos, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- Branko Grünbaum . Kuperat polytoopit / Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler. – 2. - New York, Lontoo: Springer-Verlag , 2003. - ISBN 0-387-00424-6 .
Linkit
- Weisstein, Eric W. Schlegel-kaavio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- George W. Hart: 4D-polytooppiprojektiomallit 3D-tulostuksella
- Nrich matematiikka - koululaisille ja opettajille.