Kultainen kolmio (geometria)

Kultainen kolmio [1]  on tasakylkinen kolmio , jonka kaksi poikittaista (tasa-arvoista) sivua ovat kultaisessa suhteessa kantaan:

Kultaisia ​​kolmioita löytyy joidenkin dodekaedrin ja ikosaedrin tähtien kehityksestä .

Sama kolmio löytyy myös pentagrammin kärjestä . Huippukulma on

Siitä tosiasiasta, että kolmion kulmien summa on 180°, saadaan, että kantakulmat ovat 72° [1] . Kultainen kolmio löytyy myös kymmenkulmiosta , jos kaksi vierekkäistä kärkeä on yhdistetty keskustaan. Tuloksena oleva kolmio on kultainen, koska: 180(10-2)/10=144° on dekagonin sisäkulma ja jakamalla se kärjen keskustaan ​​yhdistävällä segmentillä saadaan puoli, 144/2=72 [ 1] .

Kultainen kolmio on myös merkittävä ainutlaatuisesta kulmasuhteestaan ​​2:2:1 [2] .

Logaritminen spiraali

Kultaisten kolmioiden sarja voidaan kirjoittaa logaritmiseen spiraaliin . (Alkaen suuresta kolmiosta) jaamme kannan kulman puoliksi, saamme seuraavan pisteen [3] . Jakoprosessi voi jatkua loputtomiin luoden äärettömän määrän kultaisia ​​kolmioita. Tuloksena olevien kärkien läpi voidaan vetää logaritminen spiraali . Tämä spiraali tunnetaan myös nimellä konformaalinen spiraali . Termiä ehdotti Rene Descartes : "Jos vedät linjan napasta mihin tahansa käyrän pisteeseen, se leikkaa käyrän aina samassa kulmassa" [4] .

Golden Gnomon

Kultaiseen kolmioon liittyy läheisesti kultainen gnomon , tylppä tasakylkinen kolmio, jossa yhtäläisten (lyhyiden) sivujen pituuden suhde kolmannen sivun (pohjan) pituuteen on kultaisen leikkauksen käänteinen. Kultainen gnomon on ainutlaatuinen kolmio, jonka kulmasuhde on 1:1:3. Sen terävät kulmat ovat 36°, sama arvo kuin kultaisen kolmion kärjessä oleva kulma.

Etäisyys AX ja CX on yhtä suuri kuin φ, mikä näkyy kuvasta. "Kultaisen kolmion kanta-sivu-suhde on yhtä suuri kuin kultainen suhde φ, kun taas kultaisen gnomonin sivujen välinen suhde on sama kuin sama kultainen suhde" [5] .

Kultainen kolmio voidaan leikata kultaiseksi kolmioksi ja kultaiseksi gnomoniksi. Sama koskee kultaista gnomonia. Kultainen gnomon ja kultainen kolmio tasasivuineen (gnomonin sivu on yhtä suuri kuin kolmion sivu) ovat myös tylpäitä ja teräviä Robinsonin kolmioita [2] .

Näitä tasakylkisiä kolmioita voidaan käyttää Penrose - laattojen valmistamiseen . Penrose-laatat koostuvat leijoista ja tikoista. "Käärme" on hartialihas , joka koostuu kahdesta kultaisesta kolmiosta, ja "dart" on hartialihas, joka koostuu kahdesta kultaisesta gnomonista.

Katso myös

• kultainen leikkaus
• kultainen suorakulmio
• kultainen rombi
• Keplerin kolmio
• Pythagoraan luuttu
• Penrosen mosaiikki
• Pentagrammi

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 3 Elam, 2001 .
2. ↑ 1 2 Tilings Encyclopedia Arkistoitu 24. toukokuuta 2009 Wayback Machinessa
3. ↑ Huntley, 1970 .
4. ↑ Livio, 2002 .
5. ↑ Loeb, 1992 .

Kirjallisuus

• Kimberly Elam. Suunnittelun geometria . - New York: Princeton Architectural Press, 2001. - ISBN 1-56898-249-6 .
• H. H. Huntley. Jumalallinen osuus: matemaattisen kauneuden tutkimus. - New York: Dover Publications Inc, 1970. - ISBN 0-486-22254-3 .
• Mario Livio. Kultainen suhde: Phin tarina, maailman hämmästyttävin luku. - Broadway Books, 2002. - ISBN 0-7679-0815-5 .
• Arthur Loeb. Käsitteet ja kuvat: Visuaalinen matematiikka. - Boston: Birkhäuser Boston, 1992. - ISBN 0-8176-3620-X .

Linkit

• Weisstein, Eric W. Kultainen kolmio  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Weisstein, Eric W. Golden gnomon  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Robinsonin kolmiot Tilings Encyclopediassa