Ikosaedrin pyramidi

Ikosaedrin pyramidi
Schlegel-kaavio : säännöllisen ikosaedrisen pyramidin projektio ( perspektiivi ) kolmiulotteiseen avaruuteen
Tyyppi	Monitahoinen pyramidi
Schläfli-symboli	( ) ∨ {3,5}
soluja	21
kasvot	viisikymmentä
kylkiluut	42
Huiput	13
Kaksoispolytooppi	dodekaedinen pyramidi

Ikosaedripyramidi on neliulotteinen monitahoinen (polycell): monitahoinen pyramidi , jonka pohjana on ikosaedri .

Kuvaus

Rajoitettu 21 kolmiulotteiseen soluun - 20 tetraedria ja 1 ikosaedri . Ikosaedristä solua ympäröivät kaikki kaksikymmentä tetraedristä solua; jokaista tetraedristä solua ympäröi ikosaedrisolu ja kolme tetraedristä solua.

Sen 50 kaksiulotteista pintaa ovat kolmioita . 20 pintaa erottaa ikosaedrisen ja tetraedrisen solun, loput 30 ovat kaksi tetraedristä.

Siinä on 42 kylkiluuta. Kolme pintaa ja kolme solua (ikosaedri ja kaksi tetraedriä) yhtyvät 30 reunaan, viisi pintaa ja viisi solua (vain tetraedri) jäljellä 12.

Siinä on 13 huippua. 12 kärjessä 6 reunaa suppenee, 10 sivua kussakin ja 6 solua kussakin (ikosaedri ja viisi tetraedri); Yhdessä kärjessä on 12 reunaa, 30 pintaa ja kaikki 20 tetraedristä solua.

Isoedrinen ikosaedripyramidi

Jos ikosaedrisen pyramidin kaikki reunat ovat yhtä pitkiä , niin sen pinnat ovat yhtä suuret säännölliset kolmiot . Tällaisen pyramidin pinnan neliulotteinen hypertilavuus ja kolmiulotteinen hyperalue ilmaistaan vastaavasti seuraavasti: $a$

V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\noin 0{,}1685452a^{4},

S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\noin 4 {,}5387176a^{3}.

Pyramidin korkeus on silloin

H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\noin 0{,}3090170a,

kuvatun hyperpallon säde (joka kulkee monisolun kaikkien kärkien läpi) -

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\noin 1{,}6180340a,

ulomman puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia reunoja niiden keskipisteissä) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\noin 1{,}5388418a,

sisemmän puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia kasvoja niiden keskuksissa) -

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\noin 1{,}5115226a ,

kirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia soluja) -

r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a \noin 0{,}1485399a.

Piirretyn hyperpallon keskipiste sijaitsee pyramidin sisällä, rajatun hyperpallon ja molempien puolikirjoitetun hyperpallon keskipisteet sijaitsevat samassa kohdassa pyramidin ulkopuolella.

Tällainen pyramidi voidaan saada ottamalla kuusisataa solun minkä tahansa kärjen kupera runko ja kaikki 12 vierekkäistä kärkeä, jotka on liitetty siihen reunalla.

Kahden vierekkäisen tetraedrisolun välinen kulma on sama kuin kuusisataa solussa. Ikosaedrisen ja minkä tahansa tetraedrisen solun välinen kulma on $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\noin 164{,}48^{\circ },$ $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5)))){4}}\noin 22{,}24^{\circ }.$

Koordinaateissa

Isoedrinen ikosaedrillinen pyramidi, jolla on reunan pituus , voidaan sijoittaa karteesiseen koordinaatistoon niin, että sen kärjeillä on koordinaatit $2$

$\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
$\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

missä on kultaleikkauksen suhde . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Linkit

Richard Klitzing. Ikosaedrin pyramidi