Kontsevich invariantti

Kontsevichin invariantti , (tai Kontsevich-integraali [1] ) on tietyntyyppisen orientoidun kehystetyn linkin invariantti . Se on universaali Vasiliev-invariantti [2] siinä mielessä, että jokainen Kontsevich- invariantin kerroin on äärellisen tyyppinen invariantti , ja päinvastoin mikä tahansa äärellinen invariantti voidaan esittää tällaisten kertoimien lineaarisena yhdistelmänä . Se on kauaskantoinen yleistys yksinkertaisesta integraalikaavasta linkin numerolle [3] .

Invariantin määritteli Maxim Lvovich Kontsevich vuonna 1992 Vasiliev-Kontsevich -lauseen todistuksessa.

Kontsevichin invariantti on universaali kvantti-invariantti siinä mielessä, että mikä tahansa kvantti - invariantti voidaan saada korvaamalla sopiva painojärjestelmä Jacobin diagrammiin .

Määritelmä

Kontsevitšin invariantti määritellään Knizhnik-Zamolodchikov-yhteyden monodromiaksi diagonaalisten hypertasojen liitoksen lisäksi C n :ssä [4] .

Yksinkertaisin Kontsevich-tyyppinen integraali

Esitetään kolmiulotteinen avaruus kompleksisen suoran , jonka koordinaatti on z , ja todellisen suoran , jonka koordinaatti on t , suorana tulona . Upotetaan linkki avaruuteen niin, että koordinaatti t on L : n Morse-funktio . Tämä tarkoittaa, että kaikissa pisteissä, joissa t :llä käyrän parametrin funktiona on nolladerivaata, sen toisen derivaatan ei pitäisi kadota, ja t :n arvojen kaikissa sellaisissa pisteissä (kriittiset arvot) tulee olla erilaisia. [5] . Osoittautuu, että linkitysnumero voidaan sitten laskea seuraavalla kaavalla: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\cup K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\times t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Kontsevitšin kaava

Solmun K (alkuperäinen) Kontsevich-integraali on seuraava elementti sointukaavioiden algebran valmistumisessa [5] : ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A))))$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\lpisteet <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

Katso tämän kaavan selitys S. V. Duzhinin artikkelista . Jos merkitsemme H : lla triviaalia solmua, jonka upottaminen avaruuteen antaa kaksi maksimia ja kaksi minimiä, saadaan [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

missä c on funktion t kriittisten pisteiden lukumäärä kohdassa K .

Voidaan osoittaa, että integraali ensinnäkin konvergoi mille tahansa avaruudessa sijaitsevalle solmulle edellä esitetyllä tavalla, ja toiseksi se ei muutu solmun sileille isotoopeille, joille funktion t kriittisten pisteiden lukumäärä säilyy . Koska solmu on suljettu käyrä, kriittiset pisteet voivat ilmaantua ja kadota vain pareittain. $Z(K)$

$I(K)$ kutsutaan lopulliseksi Konttsevich-integraaliksi

Kontsevich-integraali on melko monimutkainen kohde, eikä kukaan ole moneen vuoteen pystynyt laskemaan lopullista Kontsevichin integraalia edes triviaalille solmulle. Tiedettiin vain joidenkin sointukaavioiden kertoimet äärettömässä summassa.

Vuonna 1997 ilmestyi D. Bar-Nathanin ym . [7] olettamus (todistettiin vuonna 1998 [8] ), että [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n))

tässä O on ei-solmu (ympyrä), joka vastaa H:ta, ovat modifioituja Bernoulli-lukuja ja ovat pyöriä , ts. kaaviot ympyrän muodossa, jossa on säteittäisiä segmenttejä. Pyörätuotteet ymmärretään kaavioiden hajautetuksi liitoksiksi, ja itse pyörät tulkitaan Feynman-kaavioiden lineaariseksi yhdistelmiksi (katso alla). ${\displaystyle b_{2n))$ ${\displaystyle w_{2n))$

Jacobi-kaavio

Feynman-kaavio ja sointukaavio

Asteen n Feynman-diagrammi on yhdistetty trivalenttinen graafi, jossa on 2n kärkeä ja jossa erotetaan orientoitu sykli, jota kutsutaan Wilson-silmukaksi [10] . Sointukaavio on Feynman-kaavioiden erikoistapaus (niiden kaikki kolmiarvoiset kärjet ovat Wilson-silmukassa). Feynman-diagrammin aste on puolet graafin kärkien kokonaismäärästä. Feynman-kaaviota kutsutaan yhdistetyksi , jos vastaava graafi pysyy kytkettynä Wilson-silmukan hylkäämisen jälkeen [3] .

Määritelmä

Olkoon X ympyrä (joka on 1-ulotteinen monisto ja toimii Wilson-silmukana ). Kuten oikealla olevasta kuvasta näkyy, kertaluvun n Jacobi -diagrammi on graafi, jossa on 2n kärkeä, jossa ulompi ympyrä (Wilsonin silmukka) on esitetty yhtenäisellä viivalla ja katkoviivoja kutsutaan sisägraafiksi, mikä tyydyttää seuraavat ehdot:

Suunta on ilmoitettu vain ulkosilmukassa.
Vertices, joiden arvo on 1 tai 3. Vertices, joiden arvo on 3, on yhdistetty toiseen (puoli)reunoihin myötä- tai vastapäivään, kuten pieni suunnattu ympyrä esittää.

Pisteitä, joiden arvo on 1, kutsutaan usein yksiarvoisiksi ja niitä, joiden arvo on 3, kutsutaan trivalentteiksi [11] . Yksiarvoiset kärjet yhdistetään ulompaan ympyrään ilman monikertaisuutta ja järjestetään ympyrän suunnan mukaan. Jacobi-diagrammi voidaan irrottaa, ja vaaditaan, että jokaisella kytketyllä komponentilla on vähintään yksi univalenttinen kärki [11] . G :n reunoja kutsutaan sointeiksi . Merkitsemme A: lla ( X ) kaikkien X :n Jacobi-kaavioiden muodostaman kommutatiivisen ryhmän osamääräavaruutta seuraavilla suhteilla:

(AS-suhde) + = 0 (IHX-relaatio) = − (STU-relaatio) = − (FI-suhde) = 0.

Jos jollakin G :n yhdistetyllä komponentilla on kärkipiste, jonka arvo on 3, voimme muuttaa Jacobi-kaavion sointukaavioksi käyttämällä rekursiivisesti STU-relaatiota. Jos rajoitamme sointukaavioihin, niin yllä olevat neljä relaatiota pelkistetään seuraaviin kahteen suhteeseen:

(Neljän termisuhde) − + − = 0. (FI-suhde) = 0.

Huomaa: Useat reunat ja ripustuslenkit ovat sallittuja Jacobi-kaavioissa [12] .

Ominaisuudet

Ottaen aritmeettisen keskiarvon kaikilla tavoilla Wilsonin silmukan liimaamiseksi univalenttisiin pisteisiin, mikä tahansa Jacobi-kaavio voidaan muuttaa Feynman-kaavioiden lineaariseksi yhdistelmäksi [11] .

Jacobi-kaavioiden kanssa on kätevämpää työskennellä kuin Feynman-kaavioiden kanssa, koska yleisen arvostuksen puolella pisteiden lukumäärällä on lisäksi kaksi lisäarvostelua: yhdistettyjen komponenttien lukumäärän ja univalenttien kärkien lukumäärän mukaan [13 ] .

Jacobi-kaavion aste tai järjestys määritellään puoleksi sen pisteiden lukujen summasta. Tämä luku on aina kokonaisluku ja on yhtä suuri kuin sointujen lukumäärä Jacobin kaaviosta saadussa sointukaaviossa [12] .
Kuten weaves , Jacobi-kaaviot muodostavat monoidisen luokan . Morfismien koostumus ja tensoritulo määritellään "box pinoamis" -menetelmällä:

Toisin sanoen morfismien tensoritulo on hajaliitos ja koostumus on rajan vastaavien osien liimaus [14] .

- Erikoistapauksessa, jossa X on I :n väli , A ( X ) on kommutatiivinen algebra. Kun otetaan huomioon A ( S 1 ) algebrana , jonka kertolasku on määritelty yhdistettynä summana , A ( S 1 ) on isomorfinen A ( I ) : n kanssa .
Jacobi-kaaviota voidaan pitää Lie-algebroiden generoiman tensorialgebran esityksen abstraktiona, jonka avulla voimme määritellä joitain operaatioita, jotka ovat analogisia Hopf-algebroiden yhteistuloille, yksiköille ja antipodeille .
Koska Vassiljev -invariantit (äärellisen tyypin invariantit) liittyvät läheisesti sointukaavioihin, voidaan S 1 :n sointukaaviosta G rakentaa yksikkösolmu . K n tarkoittaa kaikkien n - asteen singulaarisolmujen muodostamaa avaruutta , jokainen tällainen G määrittelee uniikin alkion K m / K m +1 : ssä .

Painojärjestelmä

Jacobi-kaavioiden kartoittamista positiivisiin lukuihin kutsutaan painojärjestelmäksi . Kohteeseen A ( X ) laajennettua kartoitusta kutsutaan myös painojärjestelmäksi. Järjestelmillä on seuraavat ominaisuudet:

Olkoon g puoliyksinkertainen Lie-algebra ja ρ sen esitys. Painojärjestelmä saadaan "korvaamalla" invariantti tensori g Jacobi-kaavion jänteeseen ja ρ Jacobi- diagrammin kantamonistoon X.
- Jacobi-kaavioiden kolmiarvoisia pisteitä voidaan pitää Lie-algebran hakasulkeutena, kiinteän viivan nuolia avaruuden ρ esityksenä ja univalentteja pisteitä Lie-algebran toimintoina.
- IHX-relaatio ja STU-relaatio vastaavat vastaavasti Jacobi-identiteettiä ja esityksen määritelmää

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

Painojärjestelmällä on olennainen rooli Mervin-Mortonin oletuksen [15] todistuksessa , joka vahvistaa yhteyden Alexander -polynomien ja Jones-polynomien välille .

Historia

Jacobi-diagrammit otettiin käyttöön analogisesti Feynman-kaavioiden kanssa, kun Kontsevich määritteli solmuinvariantteja useiden integraalien avulla 1990-luvun ensimmäisellä puoliskolla [16] . Hän edusti yksikköpisteitä sointuina, joten hän työskenteli vain sointukaavioiden kanssa. D. Bar-Nathan muotoili ne myöhemmin yksi- ja kolmiarvoisiksi kaavioiksi, tutki niiden algebrallisia ominaisuuksia ja kutsui niitä artikkelissaan [17] "kiinalaisiksi merkkikaavioiksi" . Näihin kaavioihin on viitattu eri termejä, mukaan lukien "sointukaaviot" ja "Feynman-kaaviot", mutta noin vuodesta 2000 lähtien niitä on kutsuttu Jacobi-kaavioiksi, koska IHX-relaatio vastaa Jacobin identiteettiä Lie-algebroissa .

Muistiinpanot

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , s. 101.
↑ Duzhin, 2011 , s. 26.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , s. 102.
↑ Duzhin, 2010 , s. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , s. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , s. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , s. 105.
↑ Duzhin, 2010 , s. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , s. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , s. 127.
↑ Duzhin, 2010 , s. 108.
↑ romania, 2013 , s. 1128–1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , s. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , s. 423-472.

Kirjallisuus

Sergei Vasilievich Duzhin. VASILJEVIN MUUTTUJIEN TEORIAN KOMBINATORIAALSET NÄKÖKOHDAT. - Pietari, 2011. - (väitöskirja).
D. A. Rumynin. Vale-algebrat symmetrisissä monoidikategorioissa // Sib. matematiikka. lehti .. - 2013. - T. 54 , no. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Johdatus Vassiliev Knot Invariantsiin (alias CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. Melvin-Morton-Rozansky-oletuksesta // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Numero. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Pyörät, pyöräily ja unnotin Kontsevich-integraali // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le, D. P Thurston. Kaksi alkeissolmuteorian sovellusta Lie-algebroihin ja Vassiliev-invarianteihin // Geometry and Topology.. - 2003. - Vol . 7(1) .
S.V. Duzhin. Vasiliev–Gusarov-invariantit // 1900-luvun matematiikka. Näkymä Pietarista / A.M. Vershik. - Moskova: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Sergei Chmutov, Sergei Duzhi. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
D. Bar-Natan. Vassiljev-solmun invarianteista // Topologia. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Kontsevitš. Vassiljevin solmuinvariantit // Adv. Neuvostoliiton matematiikka. - 1993. - T. 16 , no. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Kvanttiinvariantit – Tutkimus solmuista, 3-jaostoista ja niiden joukoista . - 2001. - ISBN 9789810246754 .