Fredholm - integraalioperaattori on muodon täysin jatkuva lineaarinen integraalioperaattori
kartoitetaan yksi funktiotila toiseen . Tässä on alue euklidisessa avaruudessa , on funktio, joka on määritelty suorakulmaisessa neliössä , jota kutsutaan integraalioperaattorin ytimeksi [1] . Operaattorin täydellisen jatkuvuuden varmistamiseksi ytimelle on asetettu lisärajoituksia . Useimmiten huomioidaan jatkuvat ytimet [2] , -ytimet [3] [4] ja myös polaariytimet [2] [5] . Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisemisessa käytetään Fredholmin integraalioperaattoria ja sen ominaisuuksia .
Fredholmin integraalioperaattori on lineaarinen eli .
Integraalinen operaattori, jolla on jatkuva [6] -ydin , kartoittaa (ja näin ollen kohtaan ja ) ja on rajoitettu (jatkuva) ja
missä
[7] .Integroitu operaattori -ytimen kanssa:
tarkoittaa , on jatkuva ja täyttää arvion:
[1] [8]Integraalisille operaattoreille on jatkuvuusehdot välillä - . [9]
Integraalioperaattori, jolla on jatkuva ydin , on täysin jatkuva välillä - , eli se ottaa minkä tahansa joukon , joka on rajoitettu joukkoon , joka on esitiivistetty kohdassa [10] . Täysin jatkuvat operaattorit ovat merkittäviä siinä mielessä, että Fredholmin vaihtoehto pätee niihin . Integraalioperaattori, jolla on jatkuva ydin, on rajana joukolle äärellisulotteisia operaattoreita, joilla on rappeutuneita ytimiä. Samanlaiset väitteet pätevät integraalioperaattorille, jossa on -ydin. [yksitoista]
Integraalioperaattorin täydelliselle jatkuvuudelle (tiiviydelle) välillä on myös heikommat riittävät ehdot . [12]
Hilbert-avaruudessa -ytimen sisältävän operaattorin adjoint -operaattorilla on muoto
Jos , niin Fredholmin integraalioperaattori on itseadjoint [1] [11]
Riittävän pienille arvoille operaattorilla (missä on identiteettioperaattori ) on käänteinen muoto , missä on Fredholmin integraalioperaattori ytimen kanssa , ytimen solventti [13] .