Kanoniset koordinaatit

Kanoniset koordinaatit ovat itsenäisiä parametreja klassisen mekaniikan Hamiltonin formalismissa . Ne on yleensä merkitty ja . $q_{i}$ $p_{i}$

Kanoniset koordinaatit täyttävät Poissonin hakasulkeilla ilmaistut perussuhteet :

\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}

Kanoniset koordinaatit voidaan saada yleistetyistä Lagrangin koordinaateista käyttämällä Legendre-muunnoksia tai toisesta kanonisten koordinaattien joukosta käyttämällä kanonisia muunnoksia . Jos Hamiltonin on määritelty kotangenttikimppuun, niin yleistetyt koordinaatit suhteutetaan kanonisiin koordinaatteihin käyttämällä Hamilton-Jacobi-yhtälöitä .

Vaikka fyysisen järjestelmän kanonisten koordinaattien valinnassa voi olla monia vaihtoehtoja, valitaan yleensä parametrit, jotka sopivat järjestelmän konfiguraation kuvaamiseen ja jotka yksinkertaistavat Hamiltonin yhtälöiden ratkaisua.

Samanlaisia käsitteitä käytetään myös kvanttimekaniikassa , katso Stone-von Neumann -lause ja kanoniset kommutaatiorelaatiot .

Yleistys

Koska Hamiltonin mekaniikka on matemaattisesti symplektinen geometria , kanoniset muunnokset ovat kontaktimuunnosten erikoistapaus .

Kanoniset koordinaatit määritellään erityiseksi koordinaattijoukkoksi moniston kotangenttinipussa . Ne kirjoitetaan yleensä joukona tai , jossa kirjain x tai q merkitsee moniston koordinaatteja ja kirjain p konjugaattimomenttia , joka on kovarianttivektori moniston pisteessä q . $(q^{i},p_{j})$ $(x^i,p_j)$

Kanonisten koordinaattien tavallinen määritelmä on kotangenttinipun koordinaattijärjestelmä, jossa kanoninen 1-muoto kirjoitetaan muodossa

\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i

kokonaiseron lisäämiseen asti. Koordinaattien muutos, joka säilyttää tällaisen, on kanoninen muunnos . Tämä on -symplektomorfismin erikoistapaus , joka on oleellisesti koordinaattien muutos symplektisessa monistossa .

Muodollinen opiskelu

Kun on annettu todellinen monisto Q , niin Q:n vektorikenttää X ( tai vastaavasti tangenttikimppua TQ ) voidaan pitää funktiona, joka vaikuttaa kotangenttikimppuun , johtuen tangentin ja tangentin kaksinaisuudesta. kotangenttiavaruudet. Se on toiminto

P_X:T^*Q\to \mathbb{R}

sellasta

P_X(q,p)=p(X_q)

pitää kaikki kotangenttivektorit p sisällä . Tässä on vektori , moniston Q tangenttiavaruus pisteessä q . Funktiota kutsutaan momenttifunktioksi, joka vastaa X :ää . $T_q^*Q$ $X_q$ $T_qQ$ $P_X$

Paikallisissa koordinaateissa vektorikenttä X kohdassa q voidaan kirjoittaa muodossa

X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}

missä on koordinaattijärjestelmä TQ:ssa. Konjugoitu momentti ilmaistaan sitten muodossa $\partial /\partial q^i$

P_X(q,p)=\summa_i X^i(q) \;p_i

missä määritellään vektoreita vastaaviksi momentin funktioiksi : $p_{i}$ $\partial /\partial q^i$

p_i = P_{\osittais /\osittainen q^i}

$q^{i}$ yhdessä muodostavat koordinaattijärjestelmän kotangenttikimppuun . Näitä koordinaatteja kutsutaan kanonisiksi koordinaateiksi . $p_{j}$ $T^*Q$

Kirjallisuus

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Klassinen mekaniikka. – 3. - San Francisco: Addison Wesley, 2002. - s. 347-349. - ISBN 0-201-65702-3 .
Arnold VI Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .