Funktorien luokka

Kategoriateoriassa kahden kiinteän luokan väliset funktionaaliset muodostavat kategorian, jonka morfismit ovat luonnollisia muunnoksia .

Määritelmä

Olkoon C pieni luokka (sen objektit ja morfismit muodostavat joukon) ja D mielivaltainen luokka. Sitten funktionaalisten luokka C :stä D : hen , jota merkitään Fun( C , D ), Funct( C , D ) tai D C , määritellään seuraavasti: objektit ovat kovarianttifunktioita C :stä D :hen, morfismit ovat luonnollisia muunnoksia näiden välillä. toimijat. Koska luonnollisten muunnosten koostumus on luonnollinen (katso luonnollinen muunnos ) ja identiteettimuunnos on luonnollinen, D C täyttää luokan aksioomat.

Kontravarianttien funktioiden luokka C :stä D :hen määritellään samalla tavalla, ja sitä merkitään Funct( Cop , D ) .

Esimerkkejä

Jos I on pieni diskreetti luokka (kaikki morfismit ovat identtisiä), niin funktori välillä I - C on vain objektiperhe C , jonka I indeksoi . Luokka C I vastaa tässä tapauksessa jotakin tuoteluokkaa .
Nuolien luokka (objektit ovat C :n morfismeja, morfismit ovat kommutatiivisia neliöitä) on luokka , jossa 2 tarkoittaa kahden objektin luokkaa, identtisiä morfismeja ja yhtä morfismia ensimmäisestä objektista toiseen. ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$
suunnattu graafi on joukko nuolia ja joukko pisteitä, jotka yhdistävät jokaisen nuolen aloitus- ja loppupisteeseen. Suunnattujen graafien luokka ei ole muuta kuin luokka Joukko C , jossa C on luokka, jossa on kaksi objektia ja kaksi morfismia niiden välillä, ja Joukko on joukkojen luokka .

Ominaisuudet

Jos D on täydellinen luokka (tai rinnakkaistäydellinen), niin on myös D C ;
Jos D on Abelin luokka , niin on myös D C ;
Jos C on pieni luokka, niin esisarjojen luokka Joukko C on topos .
Jokainen funtori F : D → E indusoi funktorin F C : D C → E C (koostumukseltaan F :n kanssa ). Jos F ja G ovat adjunktisten funktoreiden pari , niin ovat myös F C ja G C .
Luokka D C täyttää kaikki eksponentiaalin ominaisuudet ; erityisesti funktorit E × C → D ovat yksi-yhteen vastaavuus E :stä DC :hen olevien funktoreiden kanssa . Pienten luokkien Cat -kategoria on siksi suljettu karteesinen .

Kirjallisuus

Tom Leinster. Korkeammat operaatiot, korkeammat kategoriat (määrittelemätön) . — Cambridge University Press , 2004. Arkistoitu 6. joulukuuta 2013 Wayback Machinessa