Funktorien luokka
Kategoriateoriassa kahden kiinteän luokan väliset funktionaaliset muodostavat kategorian, jonka morfismit ovat luonnollisia muunnoksia .
Määritelmä
Olkoon C pieni luokka (sen objektit ja morfismit muodostavat joukon) ja D mielivaltainen luokka. Sitten funktionaalisten luokka C :stä D : hen , jota merkitään Fun( C , D ), Funct( C , D ) tai D C , määritellään seuraavasti: objektit ovat kovarianttifunktioita C :stä D :hen, morfismit ovat luonnollisia muunnoksia näiden välillä. toimijat. Koska luonnollisten muunnosten koostumus on luonnollinen (katso luonnollinen muunnos ) ja identiteettimuunnos on luonnollinen, D C täyttää luokan aksioomat.
Kontravarianttien funktioiden luokka C :stä D :hen määritellään samalla tavalla, ja sitä merkitään Funct( Cop , D ) .
Esimerkkejä
- Jos I on pieni diskreetti luokka (kaikki morfismit ovat identtisiä), niin funktori välillä I - C on vain objektiperhe C , jonka I indeksoi . Luokka C I vastaa tässä tapauksessa jotakin tuoteluokkaa .
- Nuolien luokka (objektit ovat C :n morfismeja, morfismit ovat kommutatiivisia neliöitä) on luokka , jossa 2 tarkoittaa kahden objektin luokkaa, identtisiä morfismeja ja yhtä morfismia ensimmäisestä objektista toiseen.
![{\mathcal {C}}^{\rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2becf5f5bc00184397f7610e7a8fd16cb16f6336)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57bfd28565253fdef681f25d28f45bca95c7c06)
- suunnattu graafi on joukko nuolia ja joukko pisteitä, jotka yhdistävät jokaisen nuolen aloitus- ja loppupisteeseen. Suunnattujen graafien luokka ei ole muuta kuin luokka Joukko C , jossa C on luokka, jossa on kaksi objektia ja kaksi morfismia niiden välillä, ja Joukko on joukkojen luokka .
Ominaisuudet
- Jos D on täydellinen luokka (tai rinnakkaistäydellinen), niin on myös D C ;
- Jos D on Abelin luokka , niin on myös D C ;
- Jos C on pieni luokka, niin esisarjojen luokka Joukko C on topos .
- Jokainen funtori F : D → E indusoi funktorin F C : D C → E C (koostumukseltaan F :n kanssa ). Jos F ja G ovat adjunktisten funktoreiden pari , niin ovat myös F C ja G C .
- Luokka D C täyttää kaikki eksponentiaalin ominaisuudet ; erityisesti funktorit E × C → D ovat yksi-yhteen vastaavuus E :stä DC :hen olevien funktoreiden kanssa . Pienten luokkien Cat -kategoria on siksi suljettu karteesinen .
Kirjallisuus