Kvanttikentän häiriöteoria tilastollisessa fysiikassa

Tilastollisen fysiikan kvanttikentän häiriöteoria on alun perin alkeishiukkasfysiikan tarpeisiin kehitettyihin tekniikoihin perustuva menetelmä tilastollisen fysiikan vuorovaikutteisten järjestelmien tutkimiseen. Häiriöteoria (PT) perustuu pienenä pidetyn häiriön vaiheittaiseen tarkasteluun. Nollavaiheessa tämä häiriö eliminoituu kokonaan, mikä vastaa idealisoitua vapaata (ilman häiriötä) järjestelmää. Seuraavassa vaiheessa huomioidaan korjaus nollaapproksimaatioon, joka on jo lineaarinen häiriön suhteen, toisessa vaiheessa toisen asteen korjaus ja niin edelleen. Tietenkin tällä tavalla on mahdotonta ottaa huomioon kaikkien tilausten osuutta laskettuun arvoon. Yleensä ne rajoittuvat laajennuksen ensimmäisiin termeihin ja sopivat hyvin kokeelliseen dataan. Laskelmien tarkentamiseksi on tarpeen ottaa huomioon seuraavat laajennusehdot. TV:tä käytetään erittäin menestyksekkäästi polkuintegraalien menetelmässä [1] [2]

Johdanto

Tilastollisen fysiikan tärkeä aihe on täydellinen korrelaatiofunktio . Polkuintegraalien formalismissa n-pisteen korrelaatiofunktio määritellään [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_) {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

tässä , on tarkasteltavan järjestelmän Hamiltonin , on Boltzmannin vakio , on absoluuttinen lämpötila ja on järjestysparametrin satunnaiskenttä (esimerkiksi järjestelmän tiheyden poikkeama keskiarvosta). Huomaa, että tätä kutsutaan joskus "toiminnaksi", mutta sitä ei pidä sekoittaa todelliseen toimintaan . Korrelaatiofunktioita voidaan mitata suoraan kokeissa, esimerkiksi valon sironnasta tiheysvaihteluilla $S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\phi (x)$ $S(\phi )$

Järjestelmän koko fysiikka määräytyy tyypin ja ominaisuuksien mukaan . Tilastollisen fysiikan tärkein malli on malli , jota kuvataan muodon toiminnolla: $S(\phi )$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\oikea)

oletetaan, että tässä kaikki parametrit ovat lämpötilan analyyttisiä funktioita. Tämä malli kuvaa hyvin nesteiden ja höyryjen käyttäytymistä kriittisen pisteen läheisyydessä, magneettien käyttäytymistä Curie-pisteen läheisyydessä jne.

Korrelaatiofunktioiden laskemiseksi on tarpeen laskea vastaava polkuintegraali tietyn toiminnon tai generoivan funktion kanssa . On selvää, että yleisessä tapauksessa tämä on mahdotonta. Tarkka analyyttinen lauseke voidaan saada vain toimille, jotka ovat neliöllisiä kentässä, eli Gaussin jakauman tapauksessa . Tästä syystä tässä käytetään TV-menetelmää. Pieni häiriö tarkasteltavassa teoriassa on termi . $g\phi ^{4}$

Infinitiesin ongelma

Häiriön pienuus mahdollistaa kytkentävakion g eksponentiaalisen potenssien laajentamisen ja polkuintegraalien edelleen laskemisen neliöllisen Hamiltonin avulla. Tällaiset laskelmat perustuvat Wickin lauseen ja Feynmanin sääntöjen soveltamiseen . Harkitse niitä käyttämällä 2-pisteen korrelaatiofunktiota:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\oikea)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\oikea )} ^{j}}}.

Nolla-asteen TV:ssä kytkentävakiossa saamme vapaan teorian korrelaatiofunktion:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

g:n ensimmäisessä järjestyksessä meillä on:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\oikea)}{\int {\mathfrak {D}} \phi e^{{-S_{0}}}}}},

niin korrelaatiofunktio tällaisessa lineaarisessa approksimaatiossa on:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Kaikki korjaukset rakentuvat vapaasta teorian levittäjästä ja vuorovaikutustermistä . Liikemäärän esityksessä ensimmäinen korjaus g:ssä vastaa termiä: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g\phi ^{4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, missä

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Voidaan nähdä, että tämä integraali hajoaa suurilla pulsseilla - UV (ultravioletti) - divergentti. Jos otamme käyttöön rajaparametrin, eli rajoitamme integrointialuetta ehdolla , niin . Näin ollen on selvää, että jo television ensimmäisessä vaiheessa ilmaantuu äärettömät ilmaisut. Yleensä äärettömyydet voivat ilmaantua integraalien UV-divergenssejen lisäksi myös IR-divergensseista (pienillä momenteilla), kollineaarisista eroista (momentin yhdensuuntaisuudesta johtuen) jne. Ne voidaan säätää joillakin parametreilla, esim. esimerkki . Tämän seurauksena lasketut lausekkeet ovat riippuvaisia näistä tuntemattomista regularisointiparametreista. Alkuperäiset kentät ja maksut on kuitenkin mahdollista määritellä uudelleen niin, että vastaus ei sisällä regularisaattoria. Teknisesti tämä tehdään lisäämällä alkuperäiseen (perus)toimintoon vastatermit, jotka riippuvat regularisointiparametrista ja veloittavat ja kumoavat kaikki säädetyt termit kussakin g:n järjestyksessä, jolloin vastaukset ovat äärelliset. Teoriaa, jolla on tällainen korjattu toiminta, kutsutaan renormalisoiduksi. Osoittautuu, että teoriassa ei aina ole mahdollista vähentää eroja. Jos divergenttien kontribuutien määrä on äärellinen, niin teoria on superrenormalisoitavissa, jos niiden lukumäärä on ääretön, mutta ne voidaan mitätöidä joka järjestyksessä, niin teoria on renormalisoitavissa, jos tätä ei voida tehdä, teoria on ei-renormalisoitavissa. Malli on superrenormalisoitavissa avaruusulottuvuuksissa alle 4, 4 ulottuvuudessa se on renormalisoitavissa, suurempien ulottuvuuksien tilassa kaikkia äärettömiä ei voi kumota. Yleensä teorian kuuluminen johonkin luokkaan määräytyy varauksen ulottuvuuden mukaan. $|k|\leqslant \Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}$ $\lambda$ $\phi ^{4}$

Toinen tapa säännönmukaistaa on siirtää tilan ulottuvuutta . Tässä lähestymistavassa integraalien divergenttiosat ovat napojen muodossa parametrissa . Vastatermien lisääminen perustoimintoon vastaa alkuparametrien (siemen) venyttämistä: $4\rightarrow 4-\epsilon$ $\epsilon$

\phi (x)\rightarrow Z_{{\phi }}\phi (x),g\rightarrow g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

Laskettaessa kätevin on minimivähennysmenetelmä tai MS-skeema (minimivähennysosasta). Siinä suureet ovat dimensiottoman g:n funktioita (g:n dimensio "ottaa haltuun" renormalisointimassalla ) ja . Näillä määrillä on rakenne $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon )=1+\sum _{{n=1}}^({\infty }}g^{n}\sum _{{i=1}}^{{n}}{\ epsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

missä ovat numeeriset tekijät [4] [5] . $I-kirjain}}$

Sarjan konvergenssi

Normalisoinnin jälkeen jokainen tv-sarjan termi antaa rajallisen panoksen. Seuraava ratkaistava ongelma on tuloksena olevien sarjojen konvergenssi.

On selvää, että jokaisen panoksen äärellisyys ei tarkoita TV-sarjan rajallisuutta. Konvergenssisäteen määrittämiseksi voit käyttää d'Alembert-merkkiä :

R=\lim _{{N\rightarrow \infty }}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

tässä ovat jonkin suuren laajenemiskertoimet sarjassa g. Tämä tarkoittaa, että konvergenssisäteen määrittämiseksi riittää, että tiedetään at :n asymptoottinen käyttäytyminen, eli korkean asteen asymptoottinen käyttäytyminen (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\rightarrow \infty$

Tarkastellaan täyden n-pisteen korrelaatiofunktiota varauksen g funktiona. Sen sarjalaajennus g:ssä on muotoa:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\sum _{{N=0}}^{{\infty }}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

ja laajenemiskertoimet analyyttisuuden oletuksena määritetään kaavalla : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Tämän näkymän avulla voit soveltaa läpäisymenetelmää WUA:iden tutkimiseen. Lopullinen lauseke n-pisteen korrelaatiofunktion laajennuskertoimien AVP:lle on:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

suuret c(n), b(n) riippuvat vain n:stä, a on vakio ja ovat joitain funktioita. Voidaan nähdä, että TV-sarjan lähentymisestä ei tarvitse puhua. Useimmissa tapauksissa tv-sarjat ovat asymptoottisia. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Kriittisten indeksien hajotukset

Huolimatta siitä, että UV-erojen ilmaantuminen televisiossa aiheuttaa vaikeuksia, tässä tilanteessa on myös myönteinen puoli. Kuten jo tiedetään, dimensioreguloinnissa renormalisointivakioilla Z on napojen rakenne . Osoittautuu, että renormalisointivakioiden yksinkertaisissa napoissa olevat jäännökset sisältävät kaiken tiedon mallin kriittisestä käyttäytymisestä eli käyttäytymisestä kriittisen pisteen läheisyydessä. Kriittiset indeksit liittyvät suoraan poikkeaviin mittoihin, jotka määrittävät nämä jäännökset: . Tässä lähestymistavassa kriittiset indeksit muodostetaan sarjan segmentteinä parametrin [8] suhteen . Kuten tällaisen -laajenemisen ATP:n analyysi osoittaa, näiden sarjojen kertoimilla on sama asymptotiikka (a, b(n), c(n, tietysti eroavat) kuin n-pisteen korrelaatiofunktioilla. Siksi tällaisten laajennusten suorassa summauksessa ei ole mitään järkeä, koska seuraava termi antaa suuremman panoksen kuin edellinen. Tekijöiden mukaan poikkeavat sarjat voidaan kuitenkin myös summata yleistetyssä mielessä ja saada melko hyviä tuloksia, ja lopputuloksiin kannattaa laittaa , jos olemme kiinnostuneita kolmiulotteisista systeemeistä tai kaksiulotteisesta tapauksesta. Huomaamme, että kriittiset eksponentit laskettiin alun perin Landaun keskikenttäteorian puitteissa ja olivat huonosti sopusoinnussa kokeen kanssa. Renormalisointiryhmälähestymistapa ( -laajennus) mahdollistaa kriittisten eksponentien laskemisen hyvällä tarkkuudella [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Häiriösarjan Borel-summaus

Keskitytään nyt menetelmään, jonka avulla voit laskea yhteen eri sarjoja.

Oletetaan jokin toiminto

Q(z)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}Q_{k}z^{k}

on WUA tyyppiä . Tällöin funktion Borel - funktio on funktio $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B(z)$ $Q(z)$

B(z)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}B_{k}z^{k}

sellasta

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

Tämän väitteen pätevyys perustuu Watsonin lauseeseen [10] [11] , joka on totta sillä ehdolla, että funktio Q(z) on analyyttinen jossain muuttujan z kompleksitason sektorissa. Kvanttikenttäteoriassa ja tilastollisessa fysiikassa emme pääsääntöisesti tiedä etukäteen sen funktion analyyttisiä ominaisuuksia, joille TV-sarja rakennetaan, joten Watsonin lauseen soveltuvuus jää kyseenalaiseksi. Tarkastellaan funktiota kompleksisen muuttujan z funktiona. Sen laajennuskertoimien määritelmästä seuraa, että vastaavalla WUA:lla on muoto: $B(z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

Tästä seuraa, että ympyrässä sarja konvergoi funktioon $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

missä ovat vakiot. Huomaa, että integrointikäyrä ylittää sarjan konvergenssiympyrän ja ylittää analyyttisyysalueen , joten arvon laskemiseksi on tarpeen rakentaa analyyttisiä jatkumoja konvergenssialueen ulkopuolelle. Tällaisia laajennuksia voidaan rakentaa useilla tavoilla. Yksi niistä on Padé -approprominanttimenetelmä . Lisävaatimus approksimaatiolle on napojen puuttuminen integrointiakselilla. Toinen menetelmä on konformisten kartoitusten menetelmä [12] $\r_{1},r_{2}$ $B(z)$ $B(z)$ $Q(z)$ $B(z)$

Uudelleensummausmenettely koostuu siis siirtymisestä suppenevaan sarjaan, sen summan laskemisesta ja käänteismuunnoksesta alkuperäiseen arvoon. Jos tätä menetelmää sovelletaan tavallisiin konvergentteihin sarjoihin, joissa on summa S, niin Borelin summauksen jälkeen saadaan sama vastaus S.

Esimerkkinä esitetään joidenkin kriittisten eksponentien arvot, jotka on saatu uudelleensummauksella - laajeneminen (viisisilmukka) ( ), korkean lämpötilan laajennus (HT) ja kokeellisesti (E) isotrooppiselle ferromagneetille: $\epsilon$ $\epsilon$

Voidaan nähdä, että kaikki kriittisten eksponentien laskentamenetelmät antavat saman tuloksen virheen sisällä. Huolimatta siitä, että TV-sarjat ovat asymptoottisia ja muodollisesti pieni laajennusparametri osoittautuukin olevan luokkaa ja jopa suurempi kuin yksikkö, laskentatulokset ovat ehdottoman objektiivisia. Häiritsevän QED :n todentaminen sellaisille suureille kuin Lamb-siirtymä tai poikkeava magneettinen momentti antaa ennätyksellisen tarkkuuden teorian ja kokeen välisestä sopimuksesta. Alkuainehiukkasten fysiikan sähköheikkojen vuorovaikutusten standardimalli osoittaa myös hämmästyttävän sopivuuden häiriöteorialaskelmien ja kokeellisten tulosten välillä. Kaikesta tehokkuudestaan huolimatta television käyttöalue on kuitenkin rajallinen. Nämä rajoitukset liittyvät sekä silmukkalaskelmien monimutkaisuuden lisääntymiseen jokaisessa TV:n peräkkäisessä järjestyksessä että teorian häiritsevän ja ei-häiriöspektrin väliseen perustavanlaatuiseen eroon. QCD :ssä ei ole mahdollista tulla toimeen pelkillä häiritsevillä laskelmilla johtuen rajoitusilmiöstä ja kytkentävakion suuresta arvosta infrapuna-alueella.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Popov V.N. Polkuintegraalit kvanttikenttäteoriassa ja tilastollisessa fysiikassa. - M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Johdatus kvanttikenttäteoriaan. - Iževsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasiliev. Funktionaaliset menetelmät kvanttikenttäteoriassa ja tilastoissa. - Leningrad: Leningrad. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasiliev A. N. Kvanttikentän renormalisointiryhmä kriittisen käyttäytymisen ja stokastisen dynamiikan teoriassa. - Pietari: PNPI, 1998. - s. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalisointi . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - S. 62 . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L.N. Häiriöteorian ja puoliklassisen teorian sarjan ero // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - S. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Häiriöteoria suuressa järjestyksessä. I. Vuorovaikutus // Phys. Rev. D. - 1977. - T. 15 , nro 1544 . $\phi ^{{2N}}$
↑ Ma Sh. Nykyaikainen kriittisten ilmiöiden teoria. - Colorado: Westview Press, 2000. - S. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Vaihemuutosten fluktuaatioteoria . — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // Modernin matemaattisen fysiikan menetelmät. Operaattoreiden analyysi. - Kalifornia: Academic Press, 1978. - S. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Erilaiset sarjat. New York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Kvanttikenttäteoria ja kriittiset ilmiöt. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - P. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Kirjallisuus

Itsikson K, Zyuber Zh. B. Kvanttikenttäteoria. Osa 1. Osa 2 .. - M . : Mir, 1987.
Zee E. Kvanttikenttäteoria pähkinänkuoressa - Tutkimuskeskus "RCHD", 2009.
Wilson K. Renormalisaatioryhmä ja kriittiset ilmiöt: Nobel-luento. – 1982.