Kovarianttimenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. kesäkuuta 2011 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Kovarianttimenetelmä on F. I. Fedorovin kehittämä lineaarialgebraan ja suoraan tensorilaskentaan perustuva lähestymistapa teoreettiseen fysiikkaan . Se on yleistynyt optisten ilmiöiden kuvauksessa ja osittain alkeishiukkasfysiikassa.

Menetelmän ydin

Kovarianttimenetelmä on ytimekäs matemaattinen muotoilu fysikaalisista teorioista tensorialgebraa käyttäen. Menetelmän pääasialliset sovellusalueet ovat teoreettinen optiikka ja akustiikka . Kovarianttimenetelmä yksinkertaistaa huomattavasti hankalia ilmaisuja, joita esiintyy kuvattaessa kenttien etenemistä monimutkaisissa ( anisotrooppisissa , gyrotrooppisissa , bianisotrooppisissa ) väliaineissa. Tämän menetelmän avulla otetaan käyttöön sovelluksissa kätevä Lorentz-ryhmän vektoriparametrisointi , jota voidaan soveltaa edelleen alkuainehiukkasten teoriassa .

Yleensä sähkömagneettiset ja akustiset kentät kuvataan vektoreilla . Jos avaruudessa , jossa aalto etenee, on symmetriaa , niin kenttävektori ja väliainetta kuvaavat tensorit voidaan määritellä komponenteilla jossain koordinaattijärjestelmässä , mikä on yhdenmukainen järjestelmän symmetrian kanssa, jota yleensä käytetään optiikassa ja akustiikassa. Vektorit ja tensorit voidaan kuitenkin kirjoittaa koordinaattijärjestelmästä riippumatta, yksinkertaisesti geometrisina kohteina, jota käytetään kovarianttimenetelmässä. Tästä syystä kovarianttimenetelmää kutsutaan myös koordinaattomaksi (tehtävää ratkaistaessa ei määritellä tiettyä koordinaattijärjestelmää ). Aallon etenemisen kuvaus kiteessä rajoittuu operaatioiden suorittamiseen tensoreille ja vektoreille , joita varten on kehitetty menetelmiä, jotka yksinkertaistavat tensorien kanssa työskentelyä ja käyttävät eksplisiittisesti niiden invariantteja (kolmiulotteisessa avaruudessa toisen valenssin tensoreille nämä ovat trace , tensorin determinantti ja keskinäisen tensorin determinantti ). Tässä lähestymistavassa kidesymmetriat ilmaistaan tiettyinä invarianttien välisinä suhteina, ja kristallia kuvaavilla tensoreilla on käteviä ilmaisuja.

Tensorityypit

Kovarianttimenetelmässä käytetyt kolmiulotteisen avaruuden tensorien päätyypit ovat

on yksikkötensori , ${\textbf {1}}$

— projektiooperaattori yksikkövektorin suunnassa — dyadi , ${\textbf {n))$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

on projektiooperaattori tasolle, joka on kohtisuorassa yksikkövektoriin nähden , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf {n))$

on tensori duaali vektorille : . ${\textbf {n}}^{\times }$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l))$

Optiset kiteet voivat olla isotrooppisia , yksiakselisia tai biaksiaalisia . Kiteiden anisotropia määräytyy permittiivisyyden tensorin avulla, joka voidaan esittää aksiaalisessa muodossa:

1. isotrooppinen väliaine , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1}}$

2. yksiakselinen kide (vektori asettaa optisen akselin suunnan ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c} }$ ${\textbf {c))$

3. biaksiaalinen kide . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textbf{c}}')$

Optisten akselien suunnat määrittävät vektorit määräytyvät täysin vastaavien tensorien ominaisarvojen ja pääakseleiden [1], [3], [4] suhteen.

Lorentz-ryhmän vektoriparametrisointi

Yleinen Lorentz-ryhmä voidaan esittää muodon muunnosryhmänä ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$ ,

täyttää ehdot , . Lorentz-matriisi voidaan parametroida yhdellä kolmiulotteisella kompleksivektorilla ja sillä on muoto ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q))$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{ \textbf {q}}^{2}|}}$ ,

missä ja ovat neliulotteisia antisymmetrisiä matriiseja , jotka on osoitettu kompleksiselle kolmiulotteiselle vektorille . Yllä olevat matriisit määritetään vektorilla ja sen kompleksikonjugaattivektorilla , vastaavasti, ja ne ovat yhtä suuria kuin ${\textbf {q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q}}^{\ast }$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right )$ .

Lorentz-ryhmän vektoriparametreille pätee seuraava koostumuslaki

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} '}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

Vektoriparametrisointi voidaan ottaa käyttöön myös rotaatioryhmälle , jolloin vektoriparametrit kuuluvat todelliseen kolmiulotteiseen avaruuteen ja niiden koostumuksen laki on sama.

Menetelmän soveltaminen

Kovarianttimenetelmän avulla voit suorittaa laskutoimituksia vektoreilla ja tensoreilla niiden suorassa muodossa turvautumatta indeksimerkintään. Tässä tapauksessa saavutetaan tuloksena olevien lausekkeiden tiiviys ja yksinkertaisuus.

Esimerkiksi polarisaatiokriteerit ovat seuraavanlaisia:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - pyöreä polarisaatio

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - lineaarinen polarisaatio

Ympyrä- ja lineaaripolarisaation kriteeristä on olemassa useita muunnelmia [3]. Jos mikään yllä olevista kriteereistä ei täyty, kyseessä on elliptisen polarisaation yleinen tapaus ja polarisaatioellipsien akselien mitat ja suunta selvitetään paljon kompaktimmin kuin karteesisessa koordinaatistossa [ 7].

Ekstrat

Valko- Venäjän valtionyliopiston teoreettisen fysiikan laitoksen työntekijät harjoittavat kovarianttimenetelmän yleistämistä. Tällaista yleistettyä menetelmää kutsuttiin operaattoriksi [6], koska se perustuu evoluutiooperaattoreiden soveltamiseen, jotka yhdistävät kenttiä kahdessa pisteessä avaruudessa. Operaattorimenetelmä soveltuu kerrosjärjestelmien kuvaamiseen (mukaan lukien sylinteri- ja pallosymmetriset järjestelmät ).
Kovarianttimenetelmää käytettiin menestyksekkäästi paitsi valkovenäläisten fyysikkojen töissä myös Neuvostoliiton tiedeakatemian kristallografian instituutin työntekijöiden tutkimuksissa [1] [2] .

Katso myös

Differentiaalimuodot sähkömagnetismissa

Muistiinpanot

↑ Yu.I. Sirotin, M.P. Shaskolskaja. Kristallifysiikan perusteet. - M.: Nauka, 1975.
↑ A.F. Konstantinova, B.N. Grechushnikov, B.V. Bokut, E.G. Valyashko. Kiteiden optiset ominaisuudet. - Minsk: Tiede ja teknologia, 1995.

Kirjallisuus

[1] F.I. Fedorov. Anisotrooppisten välineiden optiikka. - Minsk: BSSR:n tiedeakatemiasta, 1958; 2. painos M.: URSS, 2004.
[2] F.I. Fedorov. Kiteiden elastisten aaltojen teoria. - M.: Nauka, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
[3] F.I. Fedorov. Gyrotropian teoria. - Minsk: Tiede ja tekniikka, 1976.
[4] F.I. Fedorov, V.V. Filippov. Valon heijastus ja taittuminen läpinäkyvillä kiteillä. - Minsk: Tiede ja tekniikka, 1976.
[5] F.I. Fedorov. Lorentzin ryhmä. - M.: Nauka, 1979; 2. painos M.: URSS, 2003.
[6] L.M. Barkovsky, A.N. turkikset. Operaattorimenetelmiä optisten kenttien kuvaamiseen monimutkaisissa tietovälineissä. - Minsk: Valko-Venäjän tiede, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Optiikan perusteet
[8] IS Res. Esimerkinomaista plagiointia sähkömagneettisten aaltojen teoriassa. - Kristalli. Res. Technol., 1988, voi. 23, nro 4, K77-K79.