Kombinatorinen geometria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. kesäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kombinatorinen tai diskreetti geometria on geometrian haara , joka tutkii geometristen objektien ja niihin liittyvien rakenteiden kombinatorisia ominaisuuksia. Kombinatorisessa geometriassa he tarkastelevat samantyyppisten geometristen perusobjektien äärellisiä ja äärettömiä diskreettejä joukkoja tai rakenteita ( pisteitä , viivoja , ympyröitä , monikulmioita , halkaisijaltaan samankokoisia kappaleita , kokonaislukuhiloja jne. ) ja herättävät kysymyksiä, jotka liittyvät objektien ominaisuuksiin. erilaisia geometrisia rakenteita näistä objekteista tai näille rakenteille. Kombinatorisen geometrian ongelmat vaihtelevat erityisistä "objekti"-kombinatorisista kysymyksistä (vaikkakaan ei aina yksinkertaisilla vastauksilla) - tessellaatioista , ympyröiden pakkaamisesta tasolle , Pickin kaavaan - yleisiin ja syviin kysymyksiin, kuten Borsukin olettamukseen , Nelson- Erdős-Hadwigerin ongelma .

Historia

Vaikka Kepler ja Cauchy tutkivat monitahoja , laatoitusta ja pallopakkauksia , moderni kombinatorinen geometria alkoi muotoutua 1800-luvun lopulla. Jotkut ensimmäisistä ongelmista olivat: Axel Thuen ympyröiden pakkaustiheys , Steinitzin projektiivinen konfiguraatio , Minkowski - lukujen geometria ja Francis Guthrienneljän värin ongelma .

Ongelmaesimerkkejä

Seuraavat esimerkit antavat käsityksen kombinatorisen geometrian ongelmista.

Vitalin peitelemma on kombinatorinen geometrinen tulos. Käytetään laajasti mittateoriassa.

Ongelma mahdollisista ja tiheimmistä ympyröiden pakkauksista tasossa ja palloista avaruudessa . Ympyröiden ja pallojen tiheimmät pakkaukset näyttävät ilmeisiltä. Mutta täydellinen matemaattinen todiste ympyröille saatiin vasta vuonna 1940 [1] . Palloille tietokonetodiste Keplerin oletuksesta ilmestyi 400 vuotta myöhemmin vuonna 1998 matemaatikko Thomas Halesin teoksessa.

Erdős-Szekeres-lause kuperasta monikulmiosta sanoo, että mistä tahansa riittävän suuresta pistejoukosta yleisessä asemassa tasossa voidaan löytää pisteitä, jotka ovat kuperan monikulmion kärkipisteitä. Erdős-Szekeres-arvausta pisteiden vähimmäismäärästä, jotka välttämättä sisältävät kupera -gonin, ei ole tähän mennessä todistettu. Tämä ongelma on myös Ramseyn teorian ongelma . $n$ $n$

Minkowskin kupera kappaleen lause . Olkoon suljettu kupera kappale , symmetrinen koordinaattien alkuperän suhteen -ulotteinen euklidinen avaruus, jonka tilavuus . Sitten on kokonaislukupiste, joka on eri kuin . Tämä lause merkitsi numeroiden geometrian alkua . $S$ $O$ $n$ $\geq 2^{n}$ $S$ $O$

Borsukin oletuksen mukaan mikä tahansa kappale, jonka halkaisija on -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa , voidaan jakaa osiin siten, että kunkin osan halkaisija on pienempi kuin . Tämä olettamus todistettiin mittojen ja , mutta kumottu suurien tilojen osalta. Nykyään tunnetun arvion mukaan se ei pidä paikkaansa 64 ja sitä suuremmilla tiloilla [2] . ${\näyttötyyli d}$ $n$ $n+1$ $d$ $2$ $3$

Danzer-Grunbaumin ongelmana on löytää moniulotteisesta avaruudesta mahdollisimman monen pisteen äärellinen joukko, joiden välille voidaan muodostaa vain teräviä kulmia.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Yksinkertainen todiste Thuen lauseesta ympyräpakkauksesta, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, 64-ulotteinen kahden etäisyyden vastaesimerkki Borsukin olettamukselle Arkistoitu 26. joulukuuta 2018 Wayback Machinessa

Linkit

Bezdek, Andras; Kuperberg, W. Diskreetti geometria: W. Kuperbergin 60. syntymäpäivän kunniaksi (englanniksi) . - New York, NY: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
Bezdek, Karoly. Diskreetin geometrian klassiset aiheet (määrittämätön) . — New York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
Messinki, Peter; Moser, William; Pach, JanosDiskreetin geometrian tutkimusongelmat (epämääräinen) . - Berliini: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
Pach, Janos; Agarwal, Pankaj K. Kombinatorinen geometria (määrittämätön) . — New York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
Goodman, Jacob E. ja O'Rourke, Joseph. Diskreetin ja laskennallisen geometrian käsikirja, toinen painos . - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
Gruber, Peter M. Kupera ja diskreetti geometria. - Berliini: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
Matousek, Jiri. Luentoja diskreetistä geometriasta. - Berliini: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Ekskursioita kombinatoriseen geometriaan (uuspr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935