Useita Riemannin integraalia

Huomautus: Kaikkialla tässä artikkelissa, missä merkkiä käytetään, tarkoitetaan (useita) Riemannin integraalia , ellei toisin mainita; kaikkialla tässä artikkelissa, jossa sanotaan, että joukko on mitattavissa, se tarkoittaa Jordania mitattavissa , ellei toisin mainita. $\int$ $\left(R\right)\int$

Määritelmä

Olkoon mitattavissa oleva (Jordanin mukaan) joukko. Joukon osio on mikä tahansa joukko mitattavia joukkoja, jotka leikkaavat vain rajoja ja . Valitaan pisteet - sai -osio merkityillä pisteillä . $A$ $T$ $A$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m))$ $\bigcup _{1}^{m}A_{i}=A$ $\xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1} ^{m}$ ${\displaystyle (T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\oikea\}_{i=1}^{m))$

Olkoon funktio määritelty kohdassa , niin integraalisummaa kutsutaan . $f$ $A$ ${\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k))$

Funktio on Riemannin integroitavissa moninkertaisessa merkityksessä ja on sen integraali, jos : jokaiselle merkitylle osiolle , jonka halkaisija on ja , epäyhtälö pätee . Mitattavissa olevan joukon funktion integraali on merkitty : . $f$ $A$ $minä$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0$ ${\näyttötyyli (T,\xi )}$ $\xi _{i}\in {}A_{i}$ $dAi=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta$ $\left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon$ $f$ $A$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$

Jotkut usean Riemannin integraalin ominaisuudet

Jos funktio on Riemannin integroitavissa mitattavissa olevaan joukkoon , niin se funktio on rajoittunut joukkoon , missä on sisäpuoli . (Katso Riemannin integraation ja rajallisuuden välinen yhteys ). $f$ $A$ $\exists \delta >0$ $f$ $A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}$ ${\mbox{int}}A$ $A$
Jos funktio on Riemannin integroitavissa mitattavissa olevaan joukkoon , funktio määritellään joillekin päälle ja päälle , niin se on Riemannin integroitavissa funktioilla ja . $f$ $A$ $g$ $A$ $g(x)=f(x)$ $A_{\delta }$ $\delta>0$ $g$ $A$ $\int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Lineaarisuus. Jos ( on rajoitettu ja Riemann integroitavissa ) , niin funktio ja . Jos , sitten ja . Se seuraa integraalin ominaisuuksista kantaa ylittävänä rajana . $f\in R(A)$ $A$ $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha {}f\in R(A)$ $\int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $f,g\in R(A)$ $f\pm g\in R(A)$ $\int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \ int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Additiivisuus sarjoihin nähden. Jos ja , sitten ja jos , niin . Ensimmäinen osa seuraa Lebesguen kriteeriä . $f\in R(A)$ $f\in R(B)$ $f\in R(A\cup B)$ $\mu (A\cap B)=0$ $\int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}$
Osajoukon integroitavuus. Jos , on Jordanin mitattavissa oleva osajoukko , niin . Seuraa Lebesguen kriteeriä . $f\in R(A)$ $B$ $A$ $f\in R(B)$
Jos , niin . Seuraa Lebesguen kriteeriä . $f,g\in R(A)$ $f*g\in R(A)$
Jos , funktio on jatkuva segmentillä . Seuraa Lebesguen kriteeriä . $f\in R(A)$ $\varphi$ $[\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)$
Jos , ja muutos joukossa , niin muunneltu funktio , jos se on rajattu , on myös Riemannin integroitavissa joukossa ja . $f\in R(A)$ $f$ $B\subset A,\ \mu B=0$ $\tilde f$ $A$ $A$ $\int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Jos ja niin sitten . Se seuraa integraalin ominaisuuksista kantaa ylittävänä rajana . $f,g\in R(A)$ $f(x)\leqslant g(x)$ $A$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Jos , sitten ja . $f\in R(A)$ $\left|f\right|\in R(A)$ $\left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\ vec{x}}$
Jos , on ja ovat sisäpiste ja jatkuvuuspiste , niin . $f\in R(A)$ $f(x)\geqslant 0$ $A$ $f(x_{0})>0,\ x_{0}$ $A$ $f$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0$

Lauseet

Darboux'n integroitavuuskriteeri .

Rajoitettu funktio mitattavassa joukossa on Riemannin integroitava , ja yhtäläisyyden tapauksessa: , missä ja ovat vastaavasti alempi ja ylempi Darboux-integraali . $f$ $A$ $\Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)$ $I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $minä_*$ $minä^*$

Lebesguen integroitavuuskriteeri .

Rajoitettu mitattavissa olevaan joukkoon , Riemann integroitava , jatkuva lähes kaikkialla . $f$ $A$ $\Leftrightarrow \f$ $A$

Lauseet Riemannin integraalin ja Jordanin mittasuhteesta .
- Lause 1. Antaa olla mitattavissa joukko . Tällöin joukon ominaisfunktion Jordan-mitattavuus on Riemannin integroitavissa kohdassa , ja mitattavuuden tapauksessa yhtälö pätee: . $A$ $\mathbb {R} ^{n},\ E\subset A$ $E\ \Leftrightarrow$ ${\näyttötyyli \chi _{E}}$ $A$ $E$ $\mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}$
- Lause 2. Antaa olla mitattavissa asetettu , funktio . Anna asettua . Tällöin joukon rajoitetun funktion Riemannin integroitavuus on Jordan mitattavissa . Tässä tapauksessa mitattavuuden tapauksessa seuraava yhtäläisyys pätee: . $A$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f({\vec {x)))\geqslant 0$ $A$ $A_{f}=\left\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x))\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $f$ $A\ \Leftrightarrow$ ${\näyttötyyli A_{f))$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\näyttötyyli A_{f))$ $\mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}$
- Seuraus. Mitattavaan joukkoon rajoittunut funktio on Riemannin integroitavissa sarjoihin ja Jordan mitattavissa . Ja niiden mitattavuuden tapauksessa yhtäläisyys täyttyy: . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $A\ \Leftrightarrow$ $A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ in A,\ f({\vec {x)))\leqslant y\leqslant 0\right\}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1) )}A_{f}^{-}$
Lauseet useiden Riemannin integraalien pelkistämisestä toistuvassa .
- Lause. Olkoon funktio , missä on säde , joka on välien tulo : . Olkoon kullekin , merkitse ja alempi ja ylempi Darboux integraalit over to . Sitten ja ovat Riemann integroitavissa ja . $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n))$ $1\leqslant m<n$ ${\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{nm}$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $f({\vec {x))\,',{\vec {\xi )))$ ${\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\ Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x )))\,d{\vec {x}}$
- Johtopäätös 1. Olkoon , missä - bar , joka on välien tulo : . Antaa , on funktio , Sellainen, että missä ja ovat vastaavasti, alempi ja ylempi Darboux integraalit varten kiinteä on . Tällöin funktio on Riemannin integroitavissa ja . $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}$ $\Pi ^{''}$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x} }\,'')\leqslant$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')$ $I^{*}({\vec {x}}\,'')$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ ${\vec {x}}\,''$ ${\vec {x}}\,'$ $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,'')$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _ {\Pi }f({\vec {x)))\,d{\vec {x}}$
- Johtopäätös 2. Olkoon , missä - bar , joka on välien tulo : . Jos , funktio on Riemannin integroitavissa , niin sen integraali on Riemann integroitavissa ja $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n$ $\forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k} ]\alajoukko \mathbb {R} ^{nm}$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x} }\,'$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x} }\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec { x)))\,d{\vec {x}}$
- Seuraus 3 . Anna . Merkitään joukon projektiolla mihin . _ _ Merkitse joukon osiota . _ _ Oletetaan, että ja kaikki ovat Jordanin mitattavissa olevia joukkoja ja Vastaavasti, ja jokaiselle funktio . Sitten integroimme ja . _ $f\in R(A)$ $A^{''}$ $A$ $\mathbb {R} ^{nm},\ A^{''}=\left\({\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{nm}:\ \ olemassa {\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m},\right.$ $\left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n$ ${\vec {x}}\,''\in A$ $A^{'}$ $A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\({\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}: \ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\}$ $A^{''}$ $A^{'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nm))$ $\mathbb {R} ^{m}$ ${\vec {x}}\,''\in A^{''}$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,'') )$ $\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\, '')\,d{\vec {x}}\,'$ $A^{''}$ $\int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x} }\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$

Useita Riemannin integraalia

Määritelmä

Jotkut usean Riemannin integraalin ominaisuudet

Lauseet

Katso myös