Kriittinen kohta (matematiikka)

Differentioituvan funktion kriittinen piste on piste, jossa sen differentiaali katoaa. Tämä ehto vastaa sitä tosiasiaa, että tietyssä pisteessä kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat häviävät, geometrisesti se tarkoittaa, että funktion kuvaajan tangenttihypertaso on vaakasuora. Yksinkertaisimmassa tapauksessa n = 1, tämä tarkoittaa, että derivaatta tässä pisteessä on nolla. Tämä ehto on välttämätön (mutta ei riittävä), jotta alueen sisäpiste olisi differentioituvan funktion paikallisen minimin tai maksimin piste [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $f'$

Kriittisen pisteen käsite voidaan yleistää differentioituvien kuvausten tapaukseen ja mielivaltaisten monistojen differentioituvien kuvausten tapaukseen . Tässä tapauksessa kriittisen pisteen määritelmä on, että siinä olevan kuvauksen Jacobian matriisin sijoitus on pienempi kuin suurin mahdollinen arvo, joka on yhtä suuri kuin . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\to M^{m}$ $f$ $\min\{n,m\}$

Toimintojen ja mappausten kriittiset pisteet ovat tärkeitä matematiikan alueilla, kuten differentiaaliyhtälöissä , variaatiolaskelmissa , stabiilisuusteoriassa sekä mekaniikassa ja fysiikassa. Tasaisten kartoitusten kriittisten pisteiden tutkiminen on yksi katastrofiteorian pääkysymyksistä . Kriittisen pisteen käsite on myös yleistetty äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksiin määriteltyjen funktionaalisten funktioiden tapaukseen . Tällaisten funktionaalisten funktioiden kriittisten pisteiden löytäminen on tärkeä osa variaatioiden laskemista . Funktionaalisten funktioiden (jotka ovat puolestaan funktioita) kriittisiä pisteitä kutsutaan äärimmäisiksi pisteiksi .

Muodollinen määritelmä

Jatkuvasti differentioituvan kuvauksen kriittinen (tai singulaarinen tai stationäärinen ) piste on piste , jossa tämän kuvauksen differentiaali on vastaavien tangenttiavaruuksien degeneroitunut lineaarinen muunnos ja toisin sanoen muunnoksen kuvan ulottuvuus on pienempi [ 2] . Koordinaattimerkinnässä tämä tarkoittaa, että jakobilainen - kartoituksen jakobilaisen matriisin determinantti , joka koostuu kaikista osittaisista derivaatoista - katoaa pisteessä [ 2] . Tämän määritelmän tilat voidaan myös korvata samankokoisilla jakoputkilla . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x))$ $T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ $f_{*}(x_{0})$ $\min\{n,m\}$ $n=m$ $f$ ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Sardin lause

Kuvauksen arvoa kriittisessä pisteessä kutsutaan sen kriittiseksi arvoksi . Sardin lauseen [3] mukaan minkä tahansa riittävän tasaisen kartoituksen kriittisten arvojen joukolla on nolla Lebesgue-mitta (vaikka kriittisiä pisteitä voi olla niin monta kuin haluat, esim. identtisen vakiomappaukselle mikä tahansa piste on kriittinen ). $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$

Jatkuvat sijoituskartoitukset

Jos pisteen läheisyydessä jatkuvasti differentioituvan kuvauksen arvo on sama luku , niin tämän pisteen läheisyydessä on paikalliset koordinaatit , joiden keskipiste on , ja sen kuvan - pisteen - läheisyydessä on paikalliset koordinaatit. koordinaatit keskuksen kanssa , niin että niissä kartoitus annetaan suhteilla [4] [5] : $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots ,y_{m})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.$

Erityisesti, jos , On olemassa paikallisia koordinaatteja , joiden keskusta on at ja paikalliset koordinaatit , joiden keskusta on at , niin että kartoitus on identtinen niissä. $r=n=m$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y_0$ $f$

Tapaus m = 1

Tässä tapauksessa tämä määritelmä tarkoittaa, että gradientti tietyssä pisteessä katoaa. $m = 1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots ,f'_{{x_{n}}})$

Oletetaan, että funktion sileysluokka on vähintään . Funktion f kriittistä pistettä kutsutaan ei- degeneroituneeksi , jos siinä oleva Hessin on nollasta poikkeava. Ei-degeneroituneen kriittisen pisteen läheisyydessä on koordinaatit, joissa funktiolla f on neliöllinen normaalimuoto ( Morsen lemma ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$

Morsen lemman luonnollinen yleistys rappeutuneille kriittisille pisteille on Toujronin lause: funktion f degeneroituneen kriittisen pisteen läheisyydessä, joka on differentioituva äärettömän monta kertaa ( ) äärellistä monikertaisuutta , on olemassa koordinaattijärjestelmä, jossa sileäfunktio on astepolynomin muotoinen ( voimme ottaa funktion Taylor-polynomin pisteessä alkuperäisissä koordinaateissa) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$

Sille funktion maksimi- ja minimiarvo on järkevä. Tunnetun matemaattisen analyysin lausunnon mukaan koko avaruudessa tai sen avoimessa osajoukossa määritelty jatkuvasti differentioituva funktio voi saavuttaa paikallisen maksimin (minimin) vain kriittisissä pisteissä, ja jos piste on ei-degeneroitunut, niin matriisi siinä on oltava negatiivisesti (positiivisesti) määrätty . Jälkimmäinen on myös riittävä ehto paikalliselle maksimille (vastaavasti minimille) [1] . $m = 1$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}\partial x_{j))}{\Bigr )},$ $i,j=1,\ldots ,n,$

Tapaus n = m = 2

Tapauksessa n=m=2 meillä on tason mappaus f tasoon (tai 2-jakosarja toiseen 2-monisarjaan). Oletetaan, että kuvaus f on differentioituva äärettömän monta kertaa ( ). Tässä tapauksessa f :n tyypilliset kriittiset pisteet ovat ne, joissa Jacobi-matriisin determinantti on nolla, mutta sen järjestys on 1, ja siten f :n differentiaalilla tällaisissa pisteissä on yksiulotteinen ydin . Toinen tyypillisyyden ehto on, että esikuvatasolla tarkasteltavan pisteen läheisyydessä kriittisten pisteiden joukko muodostaa säännöllisen käyrän S , ja lähes kaikissa käyrän S pisteissä ydin ei kosketa S :tä ja kohdat, joissa näin ei ole, on eristetty ja niissä tangentti on ensimmäistä kertaluokkaa. Ensimmäisen tyypin kriittisiä pisteitä kutsutaan taittopisteiksi ja toisen tyypin pistepisteiksi . Taitokset ja taitokset ovat ainoat taso-taso-kartoitusten singulaarisuustyypit , jotka ovat stabiileja pienten häiriöiden suhteen: pienessä häiriössä taitteiden ja taitteiden pisteet liikkuvat vain vähän käyrän S muodonmuutoksen mukana , mutta eivät eivät katoa, älkää rappeutuko eivätkä murene muihin singularisuuksiin. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\ker \,f_{*}$ $\ker \,f_{*}$

Whitneyn lause. Jos on laskospiste tai kärkipiste, niin sen naapurustoilla on paikalliset koordinaatit , joiden keskipiste on , ja sen kuvan naapurustossa on paikalliset koordinaatit , joiden keskipiste on , niin että niiden kartoitus on annettu suhteilla. $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ ${\näyttötyyli (y_{1},y_{2})}$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (taittaa),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (kokoonpano).

Hassler Whitney todisti tämän lauseen vuonna 1955 [9] , ja siitä tuli yksi katastrofiteorian ensimmäisistä tuloksista [10] . Moderni versio tämän lauseen todistuksesta, joka perustuu myöhempien tulosten soveltamiseen differentioituvien kuvausten singulaariteettien teoriassa, on annettu esimerkiksi julkaisussa [11] .

Whitneyn lause osoittaa, että taittaminen ja kokoaminen toteutuvat yhtälön avulla avaruudessa annetun sileän pinnan projisoimisen ominaisuuksina tasolle (kuvassa vaakataso) akselia pitkin (kuvassa pystyakseli). Normaalikoordinaateissa Whitneyn lauseesta, funktio laskosta ja taitosta. Kriittisten pisteiden joukko (käyrä S pinnalla F = 0) näkyy punaisella ja sen kuva kuvatasolla on magenta. Kokoonpanon tapauksessa käyrän S kuvassa on ominaisuus, jota kutsutaan niskaksi (tai kärkiksi). $(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ ${\näyttötyyli (x_{2},y_{1})}$ $x_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{2}-y_{1))$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Katso myös

Kirjallisuus

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioituvien kartoitusten singularities - Mikä tahansa painos.
Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, - Mikä tahansa painos.
Brecker T., Lander L. Erilaiset bakteerit ja katastrofit, - Mikä tahansa painos.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sileät funktiot, muodolliset sarjat ja Whitneyn lauseet . Matto. toim., 2016, nro 3(79), 49–65.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sileät funktiot, muodolliset sarjat ja Whitneyn lauseet (lopullinen) . Matto. arr., 2017, nro 3(83), 13–27.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa 1 - Mikä tahansa painos, luku. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa 1 - Mikä tahansa painos, luku. VIII, par. neljä.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioitavien kartoitusten singularities, kappale 2.
↑ Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa 1 - Mikä tahansa painos, luku. VIII, par. 6 (rank-lause).
↑ Brecker T., Lander L. Erilaiset bakteerit ja katastrofit, - Mikä tahansa painos.
↑ Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa 1 - Mikä tahansa painos, luku. VIII, par. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioitavien kartoitusten singularities.
↑ A. M. Samoilenko, Tasaisen funktion vastaavuudesta Taylor-polynomin kanssa äärellisen tyypin kriittisen pisteen naapurustossa, Funkts. analyysi ja sen sovellukset, 2:4 (1968), s. 63-69.
↑ Whitney H. Euklidisen avaruuden kartoituksen singulaarisuudesta. I. Tason kartoitukset tasoon. Annals of Mathematics, toinen sarja, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioitavien kartoitusten singularities, kappale 1.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sileät funktiot, muodolliset sarjat ja Whitneyn lauseet (lopullinen) . Matemaattinen koulutus , 2017, nro 3(83), 13–27.