Logaritminen derivaatta

Logaritminen derivaatta on funktion luonnollisen logaritmin derivaatta.

$(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

Sitä käytetään usein yksinkertaistamaan joidenkin funktioiden derivaatan löytämistä, esimerkiksi yhdistetty eksponentiaalisia funktioita.

Sovellus

Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Olkoon (lyhyyden vuoksi , missä u ja g ovat funktioita). ${\displaystyle f(x)=u(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle f=u^{g))$

Sitten ,. _ Toisaalta , ts. . $\ln f=\ln u^{g}=g\ln u$ $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u))$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$ $f' = f\cdot(\ln f)'$

Lopulta meillä on $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Johdannainen funktioiden tulosta

Olkoon funktio annettu (lyhyyden vuoksi ). $f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)$ $f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}$

vuodesta . ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j })'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1} ^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{ j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j))))$

Lopulta saamme : $f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1} ^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{ j}}}$

Voit kirjoittaa kaavan ja siirtyä toiseen muotoon:

Jos , niin

{\displaystyle f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n))

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1))}+{ \frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

Laajentamalla sulkuja saamme:

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+ \ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

Erityisesti jos , niin $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\ alfa _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}$ $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{ \alpha _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\ beta _{n))))\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1))}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1} \cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\ beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n))}\right)$

Esimerkki

Etsitään funktion derivaatta : ${\frac {df}{dx))$ $f(x) = x^x$

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

Katso myös

Johdannainen

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet