Kp menetelmä

k p -menetelmä on puolijohdefysiikan häiriöteoriamenetelmä , jonka avulla voidaan approksimoida varauksenkuljettajan energia- ja aaltofunktio mielivaltaisessa pisteessä Brillouinin vyöhykkeellä tunnetuista arvoista toisessa pisteessä, yleensä korkean symmetrian pisteessä. . Tätä varten käytetään kokeesta tai numeerisesta laskelmasta saatuja kaistavälin leveyksiä ja tehollisia massoja korkean symmetriapisteen kohdalla. Menetelmä on erityisen tehokas tehollisen massan laskennassa , mutta korkealuokkaisia häiriöteoriaa soveltamalla on mahdollista laskea dispersiolaki koko vyöhykkeellä. Menetelmä kehitettiin J. Bardeenin [1] ja F. Seitzin [2] teoksissa . Se sai nimensä häiriön esiintymisestä aaltovektorin k :llä ja liikemäärä-operaattorilla p tulon muodossa .

Blochin lause ja aaltovektorit

Kvanttimekaniikan mukaan (yhden elektronin approksimaatiossa) minkä tahansa kiinteän aineen kvasivapaille elektroneille on tunnusomaista aaltofunktiot, jotka ovat seuraavan stationaarisen Schrödinger-yhtälön ominaistiloja :

\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi

missä p on kvanttimekaanisen liikemäärän operaattori , V on potentiaali ja m on elektronin massa. (Tämä yhtälö jättää huomioimatta spin-kiertorata-ilmiön ).

Kiteisessä kiinteässä aineessa V on jaksollinen funktio, jolla on sama jaksollisuus kuin kidehilalla. Blochin lause sanoo, että tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} } (\mathbf {x} )

missä k on vektori (kutsutaan aaltovektoriksi), n on diskreetti indeksi (kutsutaan kaistaindeksiksi ) ja u n , k on funktio, jolla on sama jaksollisuus kuin kidehilalla.

Minkä tahansa tietyn n :n tiloja kutsutaan vyöhykkeeksi. Jokaisella vyöhykkeellä on suhde aaltovektorin k ja tilan E n , k energian välillä , jota kutsutaan dispersiolakiksi. Tämän varianssin laskeminen on yksi k · p -häiriöteorian pääsovelluksista.

Häiriöteoria

Teoria sai nykyaikaisen muotonsa Kanen teoksissajotka harkitsivat häiriöteoriaa kapearakoisille puolijohteille [3] . Jaksollinen funktio u n , k täyttää seuraavan Schrödinger-tyyppisen yhtälön: [4]

{\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} ))

missä Hamiltonin on

H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V

Huomaa, että k on vektori, joka koostuu kolmesta reaaliluvusta, joiden ulottuvuus on käänteispituus, ja p on vektori, joka koostuu operaattoreista. nimenomaisesti,

\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x)))+k_{y}(-i\hbar { \frac {\partial }{\partial y)))+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z)))

Joka tapauksessa tämä Hamiltonin kirjoitetaan kahden termin summana:

H=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\; H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} } {m}}

Tämä lauseke on häiriöteorian perusta. "Häiritsemätön Hamiltonin" on yhtä suuri kuin H 0 , joka on itse asiassa yhtä suuri kuin tarkka Hamiltonin, kun k = 0 (eli Gamma-pisteessä). "Ryhmyys" . Näiden tulosten analyysiä kutsutaan "k p:n häiriöteoriaksi", koska termi on verrannollinen k p:ään. Tämän analyysin tulos on lauseke arvoille E n , k ja u n , k energioina ja aaltofunktioina, kun k = 0. $H_{\mathbf {k} }'$

Huomaa, että "häiriö"-osuus pienenee ja pienenee, kun k lähestyy nollaa. Siksi k · p häiriöteoria on tarkin pienille k :n arvoille . Kuitenkin, jos häiriöteorian laajennukseen sisällytetään riittävä määrä termejä, teoria voi olla riittävän tarkka mille tahansa k:n arvolle , eli koko Brillouinin vyöhykkeelle. Jos johtavuuskaistan minimi on toisessa pisteessä, esimerkiksi k 0 , niin Hamiltonin lauseketta voidaan muokata tässä tapauksessa [5] : $H_{\mathbf {k} }'$

H_{\mathbf {k} }=H_{\mathbf {k} _{0))+\left[{\frac {\hbar }{m_{e))}(\mathbf {k} -\ mathbf {k} _{0})\cdot (\hbar \mathbf {k} _{0}-i\hbar \mathbf {\nabla } )+{\frac {\hbar ^{2)){2m_{e }}}|\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0}|^{2}\oikea],

missä

H_{\mathbf {k} _{0}}=H_{0}+{\frac {i\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\mathbf {k} _{0}\ cdot \mathbf {\nabla } +{\frac {\hbar ^{2}k_{0}^{2}}{2m_{e}}}.

Слагаемые содержащие k - k 0 в этом случае малые поправки, которые являются возмущением.

Ei-degeneroitunut vyöhyke

Ei-degeneroituneelle kaistalle (eli kaistalle, jonka energia pisteessä k = 0 eroaa minkä tahansa muun kaistan energiasta), jonka ääriarvo on k = 0, ja spin-radan vuorovaikutuksen puuttuessa k p Menetelmä häiriöteorian ensimmäisessä ei-triviaalijärjestyksessä antaa [4] :

u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m))\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{ n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n', 0},

E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+{\frac {\hbar ^{ 2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{ n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}},

missä ja ovat kvasihiukkasen aaltofunktio ja energia n: nnessä vyöhykkeessä aaltovektorin k kanssa, ja ovat vastaavat arvot kvasihiukkaselle, jonka kvasimomentti on nolla . ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} ))$ ${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} ))$ $u_{n,0}$ $E_{n,0}$

Koska k on reaalivektori, eli joukko lukuja eikä operaattori, matriisielementit kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0} |\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle .

Voit siis laskea minkä tahansa k : n energian käyttämällä vain muutamia tuntemattomia parametreja: E n ,0 ja . Viimeisen lausekkeen antamat matriisielementit liittyvät siirtymän dipolimomentteihin. Niitä kutsutaan optisiksi matriisielementeiksi, ja ne saadaan yleensä analysoimalla kokeellisia tietoja, kuten optista absorptiota [6] . $\langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$

Käytännössä n' :n summa rajoittuu usein vain kahteen viereiseen vyöhykkeeseen, koska niiden panos on tärkein (ottaen huomioon nimittäjä). Tarkkuuden parantamiseksi, erityisesti suurella k :lla, on kuitenkin otettava huomioon useita vyöhykkeitä ja lisäksi häiriöteorian lisäluokkaa.

Tehokas massa

Yllä olevaa dispersiolakia voidaan käyttää puolijohteen johtavuuselektronien tehollisen massan laskemiseen [7] . Dispersion lain laskemiseksi johtavuuskaistan tapauksessa otetaan johtavuuskaistan E c0 alaosan energia E n0 ja vain ne termit summassa, jotka liittyvät lähimmän valenssikaistan yläosaan, jolle ero nimittäjä on pienin, koska näiden termien osuus summaan on suurin. Tällöin nimittäjä on yhtä suuri kuin kaistaväli E g , joka antaa seuraavan lausekkeen johtavuuselektronin energialle:

E_{c}({\boldsymbol {k)))\noin E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{ 2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n ,0}\rangle |^{2}}.

Silloin tehollinen massa suunnassa ℓ on:

{\frac {1}{m}}_{\ell }={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{\ 2 }E_{c}({\boldsymbol {k)))} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m))}\noin {\frac {1}{m))+{\frac { 2}{E_{g}m^{2))}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\ langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }.

Käsittelemättä matriisielementtejä yksityiskohtaisesti, voidaan tehdä tärkeä johtopäätös, että tehollinen massa riippuu kaistavälistä ja muuttuu nollaksi, kun kaistaväli on nolla [7] [8] .

Hyödyllisiä arvioita suorarakopuolisten puolijohteiden matriisielementeille antaa: [9]

{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n ,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\noin 20

{\frac {1}{mE_{g))}\ ,

mikä on totta noin 15 % tai parempi useimmille ryhmän IV, III-V ja II-VI puolijohteille. [kymmenen]

Valenssikaistalla olevia liikkuvia varauksenkantajia kutsutaan reikiksi. Osoittautuu, että on olemassa kahden tyyppisiä reikiä, joilla on erilaiset teholliset massat. Niitä kutsutaan raskaiksi ja kevyiksi. Niiden teholliset massat ovat anisotrooppisia.

Spin-orbit-vuorovaikutuksen huomioiminen

Kun otetaan huomioon spin-kiertoradan vuorovaikutus, Schrödingerin yhtälö u : lle on muotoa [11] :

H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} },

missä [12]

H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times ( \mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma )).

tässä ovat Pauli-matriisit . Tämän Hamiltonin kanssa voi työskennellä samalla tavalla kuin edellä on kuvattu. ${\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$

Degeneroituneet vyöhykkeet

Degeneroituneiden tai läheisten vyöhykkeiden laskemiseksi, erityisesti valenssivyöhykkeen osalta materiaaleissa, kuten galliumarsenidissa, yhtälö voidaan analysoida käyttämällä sopivaa versiota häiriöteoriasta [4] [11] . Tämän tyyppisiä malleja ovat Luttiger-Kohn-malli [13] ja Kane-malli . [12] .

Muistiinpanot

↑ Bardeen, J., . Parannettu laskenta metallisen Li:n ja Na:n energioista // J. Chem. Phys.. - 1938. - T. 6 . - S. 367 . - doi : 10.1063/1.1750270 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. tammikuuta 2018.
↑ Seitz F. Moderni kiinteiden aineiden teoria . - 2. painos - New York: McGraw Hill, 1940. - s . 352 . — 698 s. — ISBN 0070560307 . — ISBN 978-0070560307 .
↑ Kane EO Kapearakoisten puolijohteiden kaistarakenne. - Berliini: Springer, 1980. - S. 13-31. — ISBN 978-3-540-10261-8 . - doi : 10.1007/3-540-10261-2 .
↑ 1 2 3 P. Yu, M. Cardona. Puolijohteiden perusteet: Fysiikka ja materiaaliominaisuudet . – 3. - Springer , 2005. - P. Osio 2.6, s. 68ff '. — ISBN 3-540-25470-6 . Arkistoitu 21. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Marconcini P., Macucci M. Kp -menetelmä ja sen sovellus grafeeniin, hiilinanoputkiin ja grafeeninanonauhaihin: Diracin yhtälö // La Rivista del Nuovo Cimento. - 2011. - T. 34 . - S. 489-584 . - doi : 10.1393/ncr/i2011-10068-1 . - arXiv : 1105.1351 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. tammikuuta 2018.
↑ Kane, 1980 , s. 13.
↑ 12 W.P. _ Harrison. Elektroninen rakenne ja kiinteiden aineiden ominaisuudet . - Uusintapainos. - Dover Publications , 1989. - P. 158 ff . — ISBN 0-486-66021-4 .
↑ Katso Yu & Cardona, op. cit. s. 75-82
↑ Suoraväliisellä puolijohteella on valenssikaistan yläosa ja johtavuuskaistan alaosa samassa arvossa k , yleensä Γ-pisteessä, missä k = 0.
↑ Katso Taulukko 2.22 Arkistoitu 21. huhtikuuta 2017 the Wayback Machine in Yu & Cardona, op. cit.
↑ 1 2 C. Kittel. Kiinteiden aineiden kvanttiteoria . — Toinen tarkistettu painos. - New York: Wiley , 1987. - S. 186-190 . — ISBN 0-471-62412-8 .
↑ 1 2 Evan O. Kane. Indiumantimonidin nauharakenne // Journal of Physics and Chemistry of Solids. - 1957. - T. 1 . - S. 249 . - doi : 10.1016/0022-3697(57)90013-6 . — .
↑ JM Luttinger, W. Kohn. Elektronien ja reikien liike häiriintyneissä jaksollisissa kentissä (englanniksi) // Physical Review : Journal. - 1955. - Voi. 97 . - s. 869 . - doi : 10.1103/PhysRev.97.869 . - .

Elektronisen rakenteen laskentamenetelmät
Valenssisidosten teoria	Orbitaalien hybridisaatio Resonanssiteoria Kahden elektronin kolmen keskuksen sidos kaksoissidos kolmoissidos
Molekyyliorbitaalien teoria	Atomiorbitaalien lineaaristen yhdistelmien menetelmä Hartree-Fockin menetelmä Linkitetty klusterimenetelmä Kvantti Monte Carlo -menetelmä
Vyöhyketeoria	kp menetelmä pseudopotentiaalinen menetelmä Vahvasti sitoutuneiden elektronien approksimaatio Lähes vapaiden elektronien approksimaatio Lisätty tasoaaltomenetelmä Greenin funktiomenetelmä Tiheysfunktionaalinen teoria MT-potentiaali