Lähes vapaiden elektronien approksimaatio

Lähes vapaiden elektronien approksimaatio on kiinteiden aineiden kvanttiteorian menetelmä, jossa kidehilan jaksollisen potentiaalin katsotaan olevan pieni häiriö valenssielektronien vapaan liikkeen suhteen .

Lähes vapaiden elektronien approksimaatio mahdollistaa kapeiden kaistavälien ilmaantumisen elektronien Bragg-diffraktion seurauksena kidehilan jaksollisessa potentiaalissa .

Matemaattinen muotoilu

Hamiltonin , joka kuvaa elektronin liikettä atomiytimien potentiaalikentässä keskimääräisessä kentän approksimaatiossa , saadaan kaavalla

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )

missä on Planckin vakio , m on elektronin massa , on jaksollinen potentiaali, joka ottaa huomioon elektronin vuorovaikutuksen kidehilan ja muiden elektronien kanssa. $\hbar$ $V(\mathbf {r} )$

Elektronin aaltofunktio , jonka on täytettävä Blochin lause , voidaan etsiä Fourier-sarjan laajennuksen muodossa

\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\ mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

missä on aaltovektori , on käänteishilavektori . $\mathbf {k}$ ${\mathbf {G}}$

Jos potentiaali on suuruudeltaan pieni verrattuna elektronin kineettiseen energiaan, voidaan elektronien liikettä pitää lähes vapaana. Elektronin energia saadaan kaavalla $V(\mathbf {r} )$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}.

Tämä kaava pätee kaikkialla Brillouinin vyöhykkeellä , paitsi siinä tapauksessa, että elektronin translaatioliikkeen aaltofunktio häiritsee jaksollisen potentiaalin hajottamaa aaltoa. Tämä tilanne syntyy, kun . Tällä aaltovektorien alueella käytetään approksimaatiota, jonka mukaan suorien ja sironneiden aaltojen amplitudit määritetään yhtälöjärjestelmällä: $\mathbf {k} \noin \mathbf {G} /2$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\oikea)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_ {\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\oikea)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0

missä ovat potentiaalin laajenemiskertoimet Fourier-sarjassa. Tällä yhtälöjärjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu ehdolla $V_{\mathbf {G} }$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\oikea)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0

joka asettaa elektronisten tilojen hajaantumislain Brillouinin vyöhykkeen rajalle. Suoraan rajalla ( ) $\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$

E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|

Välillä ja energiavälissä ei ole elektronisia tasoja , mikä määrää kapean kaistavälin olemassaolon . $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$

Katso myös

Kirjallisuus

Anselm A.I. Johdatus puolijohdefysiikkaan (määrätön) . - Moskova: Nauka., 1978.

Elektronisen rakenteen laskentamenetelmät
Valenssisidosten teoria	Orbitaalien hybridisaatio Resonanssiteoria Kahden elektronin kolmen keskuksen sidos kaksoissidos kolmoissidos
Molekyyliorbitaalien teoria	Atomiorbitaalien lineaaristen yhdistelmien menetelmä Hartree-Fockin menetelmä Linkitetty klusterimenetelmä Kvantti Monte Carlo -menetelmä
Vyöhyketeoria	kp menetelmä pseudopotentiaalinen menetelmä Vahvasti sitoutuneiden elektronien approksimaatio Lähes vapaiden elektronien approksimaatio Lisätty tasoaaltomenetelmä Greenin funktiomenetelmä Tiheysfunktionaalinen teoria MT-potentiaali