Määrittämättömien kertoimien menetelmä

Määrittämättömien kertoimien menetelmä on matematiikassa käytetty menetelmä, jolla etsitään haluttu funktio täsmällisenä tai likimääräisenä lineaarisena yhdistelmänä äärellisestä tai äärettömästä kantafunktioiden joukosta. Määritetty lineaarinen yhdistelmä otetaan tuntemattomilla kertoimilla, jotka määritetään tavalla tai toisella tarkasteltavan ongelman ehdoista. Yleensä niille saadaan algebrallinen yhtälöjärjestelmä .

Sovellukset

Alla on ongelmat, jotka ratkaistaan määrittelemättömien kertoimien menetelmällä. Niissä oleva yhtälöjärjestelmä saadaan vertaamalla kertoimet samoilla tehoilla yhtäläisiin polynomeihin.

Murtoluvun hajottaminen yksinkertaisimpiin

Klassinen esimerkki epämääräisten kertoimien menetelmän soveltamisesta on kompleksisen tai reaalialueen oikean rationaalisen murtoluvun hajottaminen yksinkertaisiksi murtoiksi .

Olkoon ja polynomeja , joilla on kompleksikertoimet, ja polynomin aste on pienempi kuin polynomin aste . Oletetaan, että polynomin aste on , polynomin johtavan termin kerroin on 1 ja , ovat polynomin eri juuria kertoimilla , vastaavasti. Siksi meillä on $P$ $K$ $P$ $K$ $K$ $n$ $K$ $z_{k}$ $k\leq n$ $K$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

Funktio on esitettävissä, ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla, yksinkertaisten murtolukujen summana $P/Q$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

missä ovat vielä tuntemattomia kompleksilukuja (niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin ). Niiden löytämiseksi tasa-arvon molemmat osat pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi. Sen hylkäämisen ja vastaavien ehtojen oikealla puolella olevan pienentämisen jälkeen saadaan tasa-arvo, joka pelkistyy lineaaristen yhtälöiden järjestelmään suhteessa . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Huom . Kertoimien löytäminen yksinkertaistuu, jos sillä on vain ei-monia juuret , ts. kaikki ja $K$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

Viimeisellä yhtälöllä kertomisen ja korvaamisen jälkeen saadaan suoraan vastaavan kertoimen arvo ${\näyttötyyli z-z_{k))$ ${\näyttötyyli z=z_{k))$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integrointi

Laskettaessa rationaalisen funktion määrittelemätöntä integraalia käytetään epämääräisten kertoimien menetelmää jaettaessa murto yksinkertaisimpien summaksi, kuten edellä on kuvattu, sekä Ostrogradsky-menetelmässä , jota käytetään, jos murto-osan nimittäjän juuret on suuri moninaisuus. Sitä käytetään myös integroitaessa muodon irrationaalisuutta

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))},$

missä on n-asteinen polynomi. Sitten $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

Tämän yhtälön differentioinnin ja yhtälöjärjestelmän ratkaisemisen jälkeen määritä n-1-asteisen polynomin epämääräiset kertoimet sekä [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

Sarjan inversio

Jos funktio , joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, laajennetaan Maclaurin-sarjassa : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

sitten on Maclaurin-sarja, jolla on päinvastainen funktio:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Tämän sarjan kertoimet saadaan kertomalla nämä kaksi yhtälöä ja soveltamalla määrittelemättömien kertoimien menetelmää. Saadaan ääretön kolmiomainen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, josta löydetään peräkkäin tarvittavat kertoimet.

Vastaavalla, mutta hankalammalla tavalla voit löytää käänteisfunktiosarjan kertoimet :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

Tässä tapauksessa käytetään suhdetta , eli koko sarja for korvataan sarjalla . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $x$ $g(x)$

Tehojen summa

Erityisenä esimerkkinä voimme mainita k:nnen asteen kaavan löytämisen ongelman: . Etsimme vastausta :n asteen polynomin muodossa . Tämän polynomin kertoimet voidaan löytää käyttämällä epämääräisten kertoimien menetelmää. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{k))$ $k+1$ $n$

Esimerkki . Etsitään lomakkeesta . ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3))$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Määritelmän mukaan sekä . Korvaamalla polynomin pelkistetyssä muodossa ja vertaamalla kertoimet samoilla potenssilla, saadaan järjestelmä niiden määrittämiseksi: ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3))$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\loppu{tapaukset}},

mistä saamme vastauksen: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Tietyn ratkaisun löytäminen epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle

Tietyssä mielessä tämä sovellus on yleistys edellisestä - siinä tapauksessa etsittiin ratkaisua eroyhtälöön, mutta tässä etsitään yhtälön ratkaisua . ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3))$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

Yleensä epämääräisten kertoimien menetelmää käytetään tapauksissa, joissa oikea puoli on algebrallinen tai trigonometrinen polynomi.

Muistiinpanot

↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattinen analyysi. - M . : Higher School , 1970. - T. 1. - S. 369-370. – 50 000 kappaletta.

Linkit

Mielenkiintoisia esimerkkejä: fraktioiden hajottaminen