Algebrallisen alkion minimipolynomi

Kenttäteorian minimipolynomi on algebralliselle elementille määritelty konstruktio : polynomi , joka on monikerta kaikista polynomeista, joiden juuri on annettu alkio.

Kenttälaajennusten tutkimuksessa käytetään minimipolynomeja . Kun on annettu laajennus ja elementti algebrallinen yli , niin minimaalinen osakenttä, joka sisältää ja on isomorfinen osamäärärenkaaseen nähden , jossa on polynomien rengas, joiden kertoimet ovat , ja on minimipolynomin generoima pääideaali . Myös minimaalisen polynomin käsitettä käytetään määritettäessä konjugaattielementtejä . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $E$ $K$ $\alpha$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alpha$

Määritelmä

Antaa olla laajennus kenttään , olla elementti algebrallinen yli . Harkitse joukko polynomeja siten, että . Tämä joukko muodostaa ideaalin polynomirenkaassa . Todellakin, jos , Sitten , Ja minkä tahansa polynomin . Tämä ideaali on nollasta poikkeava, koska oletetaan, että elementti on algebrallinen; koska on pääasiallisten ihanteiden alue , tämä ihanne on pääasiallinen, eli se on generoitu jonkin polynomin avulla . Tällainen polynomi määritetään kertomalla kentän käännettävällä elementillä; asettamalla lisävaatimuksen, että johtava kerroin on yhtä suuri kuin yksi, eli että se on pelkistetty polynomi , saadaan ainutlaatuinen kuvaus mielivaltaiseen algebralliseen elementtiin polynomin annetusta laajennuksesta, jota kutsutaan minimipolynomiksi . Määritelmästä seuraa, että mikä tahansa minimaalinen polynomi on redusoitumaton . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $f(x)\in K[x]$ $f(\alpha)=0$ $K[x]$ $f(\alfa)=0, g(\alfa)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\in K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alpha$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alpha$ $\alpha$ $K[x]$

Esimerkkejä

Anna . Silloin luvun pienin polynomi on . Jos otamme , niin pienin polynomi on yhtä suuri kuin . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alpha$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Pienin polynomi on . $\alpha$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Minimipolynomi on $\alpha$ $x^{3}+3x-2.$
Polynomin analogi on $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Konjugoidut elementit

Algebrallisen elementin konjugaattielementit kentän yli ovat kaikki minimipolynomin (muut) juuret . $\alpha$ $K$ $\alpha$

Ominaisuudet

Antaa olla normaali laajennus automorfismiryhmällä , . Sitten millä tahansa - on konjugoitu , koska mikä tahansa automorfismi vie tietyn polynomin juuret takaisin juuriin. Sitä vastoin millä tahansa elementillä, joka on konjugoitu, on seuraava muoto: tämä tarkoittaa, että ryhmä toimii transitiivisesti konjugoitujen elementtien joukossa. Siksi K on isomorfinen minimipolynomin pelkistämättömyyden vuoksi . Siksi konjugaatiosuhde on symmetrinen . $E\supsetneq K$ $G$ $\alpha \in E$ $g\in G$ $g(\alpha)$ $\alpha$ $K[x]$ $\beeta$ $\alpha$ $G$ $K(\alpha )$ $K(\beta)$

Kroneckerin lause sanoo, että mikä tahansa algebrallinen kokonaisluku , jonka moduuli ja kaikkien sen konjugaattien moduuli kompleksilukujen alalla on yhtä suuri kuin 1, on ykkösjuuri .

Muistiinpanot

Minimipolynomi (englanniksi) PlanetMath - verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Conjugate Elements at Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. Abstraktin algebran kirja. Doverin matematiikan kirjat-sarja. Dover Publications, 2010, s. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5