Napierin muistisääntö

Napierin muistosääntö on tapa kirjoittaa perussuhteet suorakulmaiseen pallomaiseen kolmioon , joka on helppo muistaa.

Säännön muotoilu ja perustelut

Sanamuoto

Napierin muistosääntö voidaan muotoilla seuraavasti [1] :

Suorakulmaisen pallomaisen kolmion kolmen vierekkäisen elementin kosini on yhtä suuri kuin viereisten kotangenttien tulo ja kolmelle ei-vierekkäiselle elementille kahdesta muusta erillään sijaitsevan elementin kosini on yhtä suuri kuin niiden sinien tulo. Tässä tapauksessa jalkojen sijaan otetaan niiden komplementit 90 asteeseen asti, eikä suoraa kulmaa pidetä lainkaan elementtinä.

Kaksi esimerkkiä:

\cos B=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c))

\cos B=\sin {\overline {b))\sin A=\sin(90^{\circ }-b)\sin A=\cos b\sin A

Jotta säännön soveltaminen olisi helpompaa, piirrä ympyrä, jaa se viiteen osaan säteiden mukaan ja kirjoita niihin kaikki suorakulmaisen pallomaisen kolmion elementit, lukuun ottamatta suoraa kulmaa, järjestyksessä, jossa ne sijaitsevat kolmiossa. Jokainen jalka on merkitty vaakaviivalla sen yläpuolella tai heittomerkillä sen vieressä - merkki jalan komplementista 90 asteeseen asti. Ympyrästä on helppo löytää oikeat kolme elementtiä ja soveltaa niihin muistosääntöä.

Perustelut

Todistetaan yksi kaava suorakulmaisen pallokolmion kolmelle vierekkäiselle alkiolle ja yksi kaava kahdelle vierekkäiselle ja yhdelle erilliselle elementille [2] , ja sitten perustellaan Napierin muistosääntö (ja samalla todistetaan itse kaavat), joka antaa kaikki kymmenen tällaista kaavaa suorakulmaiselle pallomaiselle kolmiolle, sovelletaan näihin kahteen kaavaan Lambertin mukaan, tähtikuvioinen viisikulmio [3] .

Otetaan kaksi haaraa a ja b (viereiset elementit) ja hypotenuusa c (erillinen elementti). Niitä yhdistää pallomainen Pythagoraan lause , joka on todistettu sitä käsittelevässä artikkelissa. Siksi tässä tapauksessa ei käytännössä ole mitään todistettavaa. Huomaamme vain sen

\cos c=\cos a\cos b=\sin(90^{\circ }-a)\sin(90^{\circ }-b)=\sin {\overline {a))\sin {\overline {b)),

eli näille kolmelle elementille Napierin muistisääntö pätee. Nyt johdetaan kaava kolmelle vierekkäiselle elementille. Otetaan hypotenuusa c, haara a ja kulma B. Kuten pallomaisen Pythagoraan lauseen todistuksessa, harkitse kolmikulmaista kulmaa OA 1 B 1 C 1 , jonka sivut (säteet) OA 1 , OB 1 , OC 1 ja kärki pisteessä piste O, joka vastaa annettua suorakulmaista pallokolmiota ABC.

huomaa, että

{\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle A_{1}OB_{1}=\mathrm {tg} \, c,

{\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle B_{1}OC_{1}=\mathrm {tg} \, a,

{\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\cos \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\cos B.

Täältä

\mathrm {tg} \,a={\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}={\frac {A_{1}B_{1}}{B_{ 1}O}}\cdot {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\mathrm {tg} \,c\cos B,

\cos B={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c}}=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c,

eli näille kolmelle elementille Napierin muistisääntö pätee. Molemmat kaavat on todistettu. Jäljelle jää tähtiviisikulmio.

Kuvassa elementtien lisäykset 90 asteeseen asti on merkitty heittomerkeillä. Tämä tähtikuvioinen viisikulmio on rakennettu seuraavasti. Pallolle piirretään tietty pallomainen kolmio ABC, jonka kärjet A ja B ovat viisikulmion kaksi ensimmäistä kärkeä. Seuraavaksi piirretään pisteiden A ja B napat, niiden leikkauspiste, joka sijaitsee hypotenuusan c toisella puolella kärjestä C, on viisikulmion kolmas kärki ja näiden napojen kaksi leikkauspistettä. sivujen a ja b jatkuessa ovat viisikulmion kaksi muuta kärkeä. Viisikulmion sivujen jatkeet leikkaavat ja muodostavat viisi pallomaista kolmiota. On helppo nähdä, että jokainen viisikulmion kärki on napa vastakkaiselle puolelleen. Siksi kaikki viisi pallomaista kolmiota ovat suorakulmaisia. Sieltä saadaan myös kaikkien niiden elementtien arvot, jotka on esitetty kuvassa.

Pallomaiselle kolmiolle ABC kaksi Napierin muistosäännön kaavaa todistettiin edellä. Jokaisen seuraavan myötäpäivään suorakulmaisen pallomaisen kolmion elementit vastaavat edellisen elementtejä, kierrettynä 2/5 täydestä kierroksesta, tai niiden komplementteja 90 asteeseen asti. Siksi soveltamalla saatua kahta kaavaa peräkkäin kunkin kolmion vastaaviin elementteihin saadaan kaikki 10 kaavaa ja sama Napierin muistosäännön muoto niille kaikille.

Historia

Napierin muistisääntö on nimetty John Napierin mukaan, joka julkaisi sen kuuluisassa teoksessaan "Description of the amazing table of logaritms" (1614), ja hän mainitsi sen osoituksena hänen tässä työssään määrittämänsä uuden matemaattisen käsitteen soveltamisesta. logaritmi , ja molemmat yhtäläisyyden osat muistomerkkien Napierin säännöissä ovat prologaritmisia. Johann Lambert antoi elegantin ja visuaalisen matemaattisen perustelun Napierin muistosäännölle tähtikuvioisen viisikulmion avulla vuonna 1765 julkaistussa teoksessaan "Additions to the Application of Mathematics and Their Applications" [3] . Myöhemmin Carl Gauss käytti pallolla olevaa tähtimuotoista viisikulmiota todistamaan samaa (luultavasti hän ei lukenut siitä Lambertin teoksessa) ja muita ominaisuuksia, Gauss kutsui sitä "ihanaksi pentagrammiksi" ( lat. pentagramma mirificum ) [4] .

Oikeakulmaisen pallomaisen kolmion relaatioiden tähtikuvioisen viisikulmion avulla tapahtuva oikaisu osoittautui jokseenkin universaaliksi menetelmäksi: Nikolai Lobatševski käytti viiden suorakulmaisen kolmion sekvenssiä johtamaan suhteen suorakulmaisen kolmion elementtien välillä. tutkimassaan avaruudessa intialainen matemaatikko S. Mukopadiaya yhdisti tämän sekvenssin samassa tilassa olevaan viisikulmioon, ja vielä myöhemmin venäläinen matemaatikko Alexander Norden loi yhteyden pallolla olevan tähdenmuotoisen viisikulmion ja mainitun viisikulmion välille. Lobatševskin avaruus [3] .

Muistiinpanot

↑ Stepanov N.N. Napierin muistisääntö // Pallotrigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 48 -49. — 154 s.
↑ Stepanov N.N. Pallomainen trigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.
↑ 1 2 3 B.L. Laptev. Lambert on geometria. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1980. - Nro 25 . - S. 248-252 .
↑ Magnus J. Weninger. Polyhedron mallit . - Cambridge University Press , 1974. - C. xi. — 228 s.

Pallomainen trigonometria
Peruskonseptit	pallomainen kolmio napakolmio Ylimääräinen Bigon
Kaavat ja suhteet	Kosinilauseet Sinilause Viiden elementin kaava Puolipuolen kaava Napierin muistisääntö Pallomainen Pythagoraan lause Delambren kaavat Napierin analogiakaavat Legendren lause Kolmioiden ratkaiseminen
liittyvät aiheet	Pallomainen koordinaattijärjestelmä pallomainen geometria kolmikulmainen kulma