Aloita objekti

(uudelleenohjattu " Alku- ja pääteobjekteista ")

Alkuobjekti ( hylkivä objekti , alkuobjekti ) on luokkaobjekti siten , että mille tahansa objektille on ainutlaatuinen morfismi . $minä$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $I\to X$

Kaksoiskäsite on terminaaliobjekti ( houkutteleva objekti ): objekti on terminaali , jos jollakin objektilla on ainutlaatuinen morfismi . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $X\to T$

Jos objekti on sekä alkuperäinen että pääte, sitä kutsutaan nollaobjektiksi .

Tyhjä joukko on ainoa alkuobjekti joukkojen luokassa , singleton joukot ( singletons ) ovat pääteobjekteja, nollaobjekteja ei ole. Merkittyjen pistejoukkojen luokassa singletonit ovat nollaobjekteja, aivan kuten merkittyjen pistetopologisten avaruuksien luokassa.

Alku- ja pääteobjekteja ei ole missään luokassa, mutta jos ne ovat olemassa, ne ovat yksilöllisesti määriteltyjä: jos ja ovat alkuobjekteja, niiden ja ainoan välillä on isomorfismi . $I_1$ $minä_{2}$

Pääteobjektit ovat tyhjän kaavion eli tyhjien tuotteiden rajoja . Samoin alkuperäiset objektit ovat kolimiittejä ja tyhjiä sivutuotteita. Tästä seuraa, että funtori, joka säilyttää rajat (colimits), säilyttää vastaavasti terminaalit (alku)objektit. $\varnothing \to {\mathcal {C))$

Esimerkkejä

Ryhmien luokassa, samoin kuin Abelin ryhmien, renkaan päällä olevien moduulien ja vektoriavaruuksien luokissa, on nollaobjekti (jonka yhteydessä esiintyi termi "null object") .

Renkaiden luokassa kokonaislukujen rengas on alkuobjekti ja nollarengas c on pääteobjekti. Kenttäluokassa ei ole alku- ja loppuelementtejä . Ominaisuuden kenttien täydellisessä alakategoriassa on kuitenkin alkuobjekti - elementtikenttä. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $s$ $s$

Kaikkien pienten kategorioiden luokassa (funktionaaliset morfismina) alkuobjekti on tyhjä luokka ja pääteobjekti luokka, jossa on ainoa objekti ja morfismi. ${\mathbf 1}$

Mitä tahansa topologista avaruutta voidaan pitää kategoriana, jonka objektit ovat avoimia joukkoja ja minkä tahansa kahden avoimen joukon välillä siten, että , on ainutlaatuinen morfismi. Tyhjä joukko on tämän luokan alkuobjekti, pääteobjekti. Tällaiselle topologisen avaruuden kategorialle ja mielivaltaiselle pienelle kategorialle kaikki kontravariantit funktionaaliset funktiot luonnollisilla muunnoksilla muodostavat luokan , jota kutsutaan presheaves - kategoriaksi kertoimilla in . Jos sillä on alkuobjekti , niin vakiofunktion kartoitus kohteeseen on presheaves-luokan alkuobjekti, kaksoisväite on myös totta. $X$ $U\subset V$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $c$ $X$ $c$

Piirien luokassa spektri on pääteobjekti ja tyhjä piiri on alkuobjekti. $\mathbf {Spec} (Z)$

Alku - ja pääteobjektit voidaan myös karakterisoida yleisnuolilla ja adjointfunktoreilla . Luokassa , jossa on yksi objekti ja (yksi) funktionori, luokan alkuobjekti on yleisnuoli välillä - . Funktori, joka lähettää kohteeseen, on kohteen vasen adjointti . Vastaavasti luokan pääteobjekti on yleisnuoli välillä - , ja funtori, joka lähettää osoitteeseen, on oikea adjointille . Päinvastoin, yleinen nuoli funktiosta funktioon voidaan määrittää alkuobjektiksi pilkkukategoriassa . Kaksinkertaisesti universaali morfismi välillä - on terminaaliobjekti . ${\mathbf 1}$ $\bullet$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $minä$ ${\mathcal C}$ $\bullet$ $U$ $\bullet$ $minä$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\bullet$ $\bullet$ $minä$ $U$ $X$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $X$ $(U\downarrow X)$

Kirjallisuus

McLane S. Luku 1. Kategoriat, funktionaaliset ja luonnolliset muunnokset // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .