Käänteinen operaattori

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Käänteisoperaattori operaattorille on operaattori , joka määrittää kullekin operaattorin arvojoukolle yhden elementin operaattorin toimialueesta , mikä on yhtälön ratkaisu . Jos operaattorilla on käänteinen, eli yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu jollekin , niin sitä kutsutaan käänteiseksi . Käänteinen operaattori on merkitty [1] . $A$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $x$ ${\mathcal {D}}(A)$ $A$ $Ax=y$ $A$ $Ax=y$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $A^{{-1}}$

Määritelmä ja olemassaolon ehdot

Toinen määritelmä: operaattoria kutsutaan operaattorin käänteiseksi if , missä on identiteettioperaattori . Jos vain relaatio täyttyy tai vain silloin operaattoria kutsutaan vasen käänteis tai oikea käänteis . Jos operaattorilla on vasen käänteis ja oikea käänteis, niin ne ovat keskenään yhtä suuret ja operaattori on käännettävä [2] . Jos käänteisoperaattori on olemassa, se on yksilöllisesti määritelty [3] . $B$ $A$ $BA=I,\,AB=I$ $minä$ $BA=I$ $AB=I,$ $B$ $A$ $A$

Operaattori on käännettävä, jos se kartoitetaan yksi - yhteen, eli se ottaa eri arvoja eri . [4] Jos operaattori on lineaarinen , niin käänteisoperaattorin olemassaololle riittää, että se täyttyy vain kun [5] . $A$ ${\mathcal {D}}(A)$ ${\mbox{Im}}\,A$ $x\in {\mathcal {D}}(A)$ $y$ $A$ $A x = 0$ $x=0$

Lineaarisella operaattorilla (jopa rajoitetulla ) voi olla käänteisoperaattori, joka ei ole määritelty koko avaruudessa . Esimerkiksi avaruudessa $\ell _{2}$ lineaarinen operaattori

A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\pisteet )

on käänteisarvo, joka on määritelty vektoreille , joiden ensimmäinen koordinaatti on nolla: [5] . $x_{1}=0$

Ominaisuudet

$(A^{-1})^{-1}=A.$ [6]
$(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$ [3]
Operaattori , käänteinen lineaariselle operaattorille , on myös lineaarinen. [yksi] $A^{{-1}}$
${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1))$ , on adjoint-operaattori [7] . $A^{*}$

Käänteisoperaattorilauseet

Banachin lause

Olkoon lineaarisesti rajoitettu operaattori , joka kartoittaa Banach-tilan Banach - avaruuteen yksi-yhteen- tavalla . Sitten käänteisoperaattori on rajoitettu. $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$

Banachin lause on yksi lineaarisen analyysin perusperiaatteista [8] . Siitä seuraa avoin mappauslause : Banach-avaruuden lineaarinen jatkuva kuvaus (kaikkiin) Banach-avaruuksiin on avoin [9] . $A$ $E$ $E_1$

Riittävät ehdot käänteisen operaattorin olemassaololle

Olkoon lineaarioperaattori, joka kuvaa normoidun lineaarisen avaruuden normoidulle lineaariavaruudelle, täyttää minkä tahansa ehdon $A$ $E$ $E_1$ $x\in E$

\|Ax\|\geq m\|x\|,

missä on jokin vakio . Sitten on käänteisrajoitettu lineaarinen operaattori [10] . $m>0$ $A^{{-1}}$

Antaa olla lineaarisesti rajoitettu käännettävä operaattori, joka toimii Banach-avaruudesta Banach-avaruuteen ja olla lineaarinen rajoitettu operaattori sellaiseen , että . Tällöin operaattorilla on rajoitettu käänteisarvo ja $A$ $E$ $E_1$ $\Delta A$ $E$ $E_1$ $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$ $B=A+\Delta A$

\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\ Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}

[11] [12] .

Antaa olla Banach -avaruus , olla identiteettioperaattori ja olla lineaarisesti rajoitettu operaattori , joka kuvaa itseään siten, että . Silloin operaattori on olemassa, se on rajoitettu ja esitetään sarjana $E$ $minä$ $E$ $A$ $E$ $\|A\|<1$ $(IA)^{-1}$

{\displaystyle (IA)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k))

[13] .

Esimerkkejä

Fourier-muunnos

g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt

voidaan nähdä lineaarisesti rajoittuneena operaattorina, joka toimii avaruudesta $L_{2}(-\infty ,\infty )$ itseensä. Sen käänteisoperaattori on käänteinen Fourier-muunnos

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\ lambda

[14] .

Integroinnin ja eriyttämisen operaattorit

Integraatiooperaattorille

Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,

Toimiessaan jatkuvien funktioiden avaruudessa käänteisoperaattori on differentiaatiooperaattori : $C[0,1]$

A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),

määritelty jatkuvasti differentioituvien funktioiden lineaariselle joukolle siten, että [15] . $y(0) = 0$

Sturm-Liouvillen operaattori

Sturm-Liouville- differentiaalioperaattorille , joka on määritetty lineaariselle jakosarjalle , jossa on kahdesti jatkuvasti differentioituvia toimintoja siten , että käänteisoperaattori on integraalioperaattori $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ $x(0)=x(1)=0$

A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,

missä on vihreän funktio . on lineaarirajoitettu operaattori kohdassa [15] . $G(t,\tau )$ $A^{{-1}}$ $C[0,1]$

Integraalioperaattori

Päästää

Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

on keskeinen toimija jatkuvien toimintojen tilassa . Riittävän pienille parametrin arvoille operaattorilla (missä on identiteettioperaattori ) on rajoitettu käänteisarvo $C[0,1]$ $\lambda$ $(I-\lambda A)$ $minä$

(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\ ,ds

missä on ytimen liuottimia . Kun tunnetaan liuotti, voidaan löytää ratkaisu integraaliyhtälöön $R(t,s,\lambda )$ $K(t, s)$

x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

vapaaksi ajaksi [16] . ${\näyttötyyli y(t)}$

Käänteisoperaattori äärellisulotteisessa avaruudessa

Äärillisulotteisessa avaruudessa oleva operaattori on käännettävä silloin ja vain, jos sen järjestys on sama kuin avaruuden ulottuvuus . Toisin sanoen sen matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Käänteisoperaattori vastaa käänteismatriisia [17] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktion teorian ja funktionaalisen analyysin elementit, 1976 , s. 225.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 128.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 168.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 351.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 319.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 154.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 207.
↑ Helemsky A. Ya. Lineaarinen operaattori // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktion teorian ja funktionaalisen analyysin elementit, 1976 , luku IV, §5, s. 4.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 155.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 157.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi, 1976 , s. 229.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi, 1976 , s. 230.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi, 1976 , luku VIII.
↑ 1 2 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 161.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 163.
↑ Ilyin V.A. , Poznyak E.G. Lineaarinen algebra. Proc. yliopistoja varten. - 5. painos - M . : Fizmatlit, 2002. - 320 s. — ISBN 5-9221-0129-3 .

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. — Tiede, Ch. toim. Fys.-Math. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit. - Toim. 2., tarkistettu .. - M . : Nauka, 1965. - 520 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Luennot funktionaalisesta analyysistä. - M .: Mir, 1979. - 592 s.
Sobolev V.I. Käänteinen kartoitus // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.