Homogeeninen tila

Homogeeninen avaruus voidaan epävirallisesti kuvata avaruuteen, jossa kaikki pisteet ovat samat , eli on olemassa avaruussymmetria , joka vie minkä tahansa pisteen toiseen. Määritelmä on melko yleinen ja siinä on useita muunnelmia. Homogeeninen avaruus sisältää klassisen geometrian tilat , kuten euklidinen avaruus , Lobatševsky- avaruus , affineavaruus , projektiotila ja muut.

Määritelmä

Homogeeninen avaruus on joukko X , jolla on erottuva ryhmän G transitiivinen toiminta .

X :n alkioita kutsutaan homogeenisen avaruuden pisteiksi .
G :n alkioita kutsutaan avaruussymmetrioiksi , ja itse ryhmää G kutsutaan liikeryhmäksi tai homogeenisen avaruuden perusryhmäksi .
Aliryhmää , joka korjaa elementin, kutsutaan stabilaattoriksi . $H_{x}<G$ $x\in X$ $x$
Jos joukko X on varustettu lisärakenteella, kuten metriikka , topologia tai sileä rakenne , G :n toiminnan oletetaan yleensä säilyttävän tuon rakenteen. Esimerkiksi metriikan tapauksessa toiminnon oletetaan olevan isometrinen . Vastaavasti, jos X on sileä monisto , niin ryhmän elementit ovat diffeomorfismeja .

Ominaisuudet

Kaikki stabilisaattorit ovat konjugoituja alaryhmiä.
Homogeeninen avaruus, jossa on emäsryhmä G , voidaan tunnistaa stabilisaattorin H vasemmalla kosetilla . Tässä tapauksessa G :n vasen toiminta itsessään generoi toiminnon coset-avaruuteen G/H .

Esimerkkejä

Metrinen tilat

Euklidinen avaruus isometrialla ryhmätoiminnalla; tämän toiminnan stabiloija on ortogonaalisten muunnosten ryhmä. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Vakiopallo seuraavilla toimilla: ${\mathbb {S}}^{n}$
- Ortogonaalisten muunnosten ryhmät ; tämän toiminnan stabilointiaine on isomorfinen ryhmälle . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Ryhmät - erityinen ortogonaalinen ryhmä; tämän toiminnan stabilointiaine on isomorfinen ryhmälle . ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Lobatševskin tila Lorentz-ryhmän toiminnan kanssa .
Grassmannian : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

muu

Affine space ( affiiniselle ryhmälle , täyden lineaarisen ryhmän pisteen stabilointi ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Topologiset vektoriavaruudet (topologisessa mielessä).
Antidesitter-tila : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Metrinen avaruuden sanotaan olevan pisteittain homogeeninen, jos in -pisteittäisten osajoukkojen isometrinen kartoitus voidaan laajentaa isometriaan $X$ $n$ $n$ $K\alajoukko X$ $X$ $X$
Äärimmäisen homogeeniset, laskettavasti homogeeniset, kompaktisti homogeeniset tilat ja niin edelleen määritellään samalla tavalla.
Kaksoisosamääräavaruus on oikealla ja vasemmalla puolella toimivan alaryhmän ryhmän osamäärä . $G/\!/H$ $G$ $H<G\times G$ $G$
Prehomogeeniset vektoriavaruudet ovat äärellisulotteinen vektoriavaruus V , jossa on algebrallinen ryhmätoiminta G siten, että on olemassa kiertorata G , joka on avoin Zariski-topologiassa (ja siksi tiheä). Esimerkki on ryhmä GL(1), joka toimii yksiulotteisessa avaruudessa . Esihomogeenisten vektoriavaruuksien idean ehdotti Mikio Sato .

Katso myös

Avaruuden homogeenisuus

Kirjallisuus

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Teoreettinen fysiikka. 10 osassa. - M . : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitaatio ja kosmologia (englanniksi) . - John Wiley and Sons, 1972.
John Milnor, James D. Stasheff. Ominaisetluokat . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. Johdatus homogeenisten tilojen geometriaan . - Kyungpook National University.
Menelaos Zikidis. Homogeeniset tilat . – Heidelbergin yliopisto.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . luku X // Differentiaaligeometrian perusteet . - Wiley Classics Library, 1969. - Voi. 2.