Lentokone

Taso on yksi geometrian peruskäsitteistä . Geometrian systemaattisessa esittelyssä tason käsite otetaan yleensä yhdeksi alkukäsitteeksi, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti. Tason läheisessä yhteydessä on tapana tarkastella siihen kuuluvia pisteitä ja viivoja ; ne on myös pääsääntöisesti otettu käyttöön määrittelemättöminä käsitteinä, joiden ominaisuudet määritellään aksiomaattisesti [1] .

Joitakin tasolle ominaisia ominaisuuksia

Taso on pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sen pisteitä yhdistävän suoran ;
Kaksi tasoa ovat joko yhdensuuntaisia tai leikkaavat suoran.
Suora on joko yhdensuuntainen tason kanssa tai leikkaa sen yhdessä pisteessä tai on tasossa.
Kaksi samaan tasoon nähden kohtisuoraa suoraa ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.
Kaksi tasoa, jotka ovat kohtisuorassa samaa suoraa vastaan, ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.

Tasoyhtälöt

Löytyi ensimmäisen kerran julkaisusta A. K. Clairaut ( 1731 ).

G. Lame ( 1816-1818 ) kohtasi ilmeisesti ensimmäisen tason yhtälön segmenteissä .

Normaaliyhtälön esitteli L. O. Hesse ( 1861 ).

Taso on ensimmäisen asteen algebrallinen pinta : karteesisessa koordinaatistossa taso voidaan määrittää ensimmäisen asteen yhtälöllä .

Tason yleinen yhtälö (täydellinen).

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

missä ja ovat vakioita, ja ne eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti; vektorimuodossa : _ $A, B, C$ $D$ $A, B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

missä on pisteen sädevektori , vektori on kohtisuorassa tasoon nähden (normaalivektori). Vektorin suunnan kosinit : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Jos yksi tasoyhtälön kertoimista on nolla, yhtälön sanotaan olevan epätäydellinen . Sillä , Taso kulkee koordinaattien alkupisteen kautta , sillä (tai , ) taso on yhdensuuntainen akselin kanssa (vastaavasti , tai ). Kun ( , tai ), taso on yhdensuuntainen tason ( tai vastaavasti ) kanssa. $D = 0$ $A = 0$ $B=0$ $C = 0$ $Härkä$ $Oy$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

Tason yhtälö segmenteissä:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

jossa , ovat segmentit leikattu pois koneen akseleilla ja . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

Normaalivektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

vektorimuodossa:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Tason yhtälö, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta , jotka eivät ole yhdellä suoralla : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(vektorien sekatulo), muuten

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.

Normaali (normalisoitu) tasoyhtälö

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

vektorimuodossa:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

missä - yksikkövektori, - etäisyys P. origosta. Yhtälö (2) saadaan yhtälöstä (1) kertomalla normalisointikertoimella ${\mathbf {N^{0))}$ $s$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(merkit ja ovat vastakkaisia). $\mu$ $D$

Määritelmä pisteellä ja normaalivektorilla

Kolmiulotteisessa avaruudessa yksi tärkeimmistä tavoista määritellä taso on määrittää tasossa oleva piste ja sen normaalivektori.

Oletetaan , että on tasolle määritellyn pisteen sädevektori, ja oletetaan, että n on nollasta poikkeava vektori, joka on kohtisuorassa tasoon nähden (normaali). Ajatuksena on, että piste , jonka sädevektori on r , on tasossa silloin ja vain, jos vektori kohteesta to on kohtisuorassa n :n kanssa . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Palataan siihen tosiasiaan, että kaksi vektoria ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos niiden pistetulo on yhtä suuri kuin nolla. Tästä seuraa, että tarvitsemamme taso voidaan ilmaista kaikkien pisteiden r joukkona siten, että:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Tässä piste tarkoittaa pistetuloa, ei kertolaskua.)

Laajennamme ilmaisua, saamme:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

joka on tason tuttu yhtälö.

Esimerkiksi: Annettu: piste tasossa ja normaalivektori . $P(2,6,-3)$ $N(9;5;2)$

Tasoyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Etäisyys pisteestä tasoon

Etäisyys pisteestä tasoon on pienin tämän pisteen ja tason pisteiden välisistä etäisyyksistä. Tiedetään, että etäisyys pisteestä tasoon on yhtä suuri kuin tästä pisteestä tasoon pudonneen kohtisuoran pituus.

Pisteen poikkeama normalisoidun yhtälön antamasta tasosta $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, jos ja origo sijaitsevat tason vastakkaisilla puolilla, muuten . Etäisyys pisteestä tasoon on

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

Etäisyys pisteestä yhtälön antamaan tasoon lasketaan kaavalla: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $ax+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys

Yhtälöiden ja tasojen välinen etäisyys : $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Yhtälöiden ja tasojen välinen etäisyys : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Kahden tason välinen kulma. Jos P.-yhtälöt annetaan muodossa (1), niin

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Jos vektorimuodossa, niin

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Tasot ovat yhdensuuntaisia , jos

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

tai (Ristituote)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Tasot ovat kohtisuorassa , jos

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

tai . (Skalaarituote)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Tasokimppu - kaikki tasot, jotka kulkevat kahden tason leikkauslinjan läpi. Tasokimpun yhtälö, eli mikä tahansa taso, joka kulkee kahden tason leikkauslinjan kautta, on muotoa [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

missä ja ovat mitkä tahansa luvut, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuria kuin nolla. Itse tämän suoran yhtälö voidaan löytää sädeyhtälöstä korvaamalla α=1, β=0 ja α=0, β=1.

\alpha

\beeta

Joukko tasoja - kaikki tasot, jotka kulkevat kolmen tason leikkauspisteen kautta [2] :224 . Tasojoukon yhtälöllä, eli minkä tahansa tason, joka kulkee kolmen tason leikkauspisteen kautta, on muoto:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

jossa , ja ovat kaikki numerot, jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. Itse tämä piste voidaan löytää nippuyhtälöstä korvaamalla α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 ja α=0, β=0, γ=1 ja tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen.

\alpha

\beeta

\gamma

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tasot ei-euklidisessa avaruudessa

Tasometriikan ei tarvitse olla euklidinen . Pisteiden ja suorien käyttöönotetuista insidenssisuhteista riippuen erotetaan projektitiiviset , affiiniset , hyperboliset ja elliptiset tasot [1] .

Moniulotteiset tasot

Olkoon n-ulotteinen affini-ääriulotteinen avaruus annettu , todellisten lukujen kentän yli. Siinä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä . M-taso on joukko pisteitä, joiden sädevektorit täyttävät seuraavan suhteen — matriisi, jonka sarakkeet muodostavat tason ohjaavan aliavaruuden, — muuttujien vektori, — tason yhden pisteen sädevektori. Määritetty suhde voidaan kääntää matriisi-vektorimuodosta vektoriykseksi: - m-tason vektoriyhtälö. Vektorit muodostavat ohjaavan aliavaruuden. Kahta m-tasoa kutsutaan rinnakkaiseksi , jos niiden ohjausavaruudet ovat samat ja . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alpha$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \in V$
${\vec {a_{i))}$ $\alpha ,\beta$ $\exists x\in \alpha :x\notin \beta$

(n-1)-tasoa n-ulotteisessa avaruudessa kutsutaan hypertasoksi tai yksinkertaisesti tasoksi . Hypertasolle on olemassa yleinen yhtälö tasolle. Olkoon tason normaalivektori, on muuttujien vektori, on tasoon kuuluvan pisteen sädevektori, sitten: on tason yleinen yhtälö. Suuntavektorien matriisin avulla yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: , tai: . Tasojen välinen kulma on pienin kulma niiden normaalivektorien välillä. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Esimerkki 1-tasosta kolmiulotteisessa avaruudessa (n=3) on suora . Sen vektoriyhtälön muoto on: . Tapauksessa n = 2, suora on hypertaso. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Hypertaso kolmiulotteisessa avaruudessa vastaa tavallista tason käsitettä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s.

Kirjallisuus

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analyyttinen geometria. - M .: Fizmatlit, 2002. - 240 s.
Taso // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Linkit

Wikimedia Commonsissa on Planeen liittyvää mediaa

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Iso venäläinen Työpöytä