Khinchin vakio

Khinchinin vakio on reaalivakio , joka on yhtä suuri kuin minkä tahansa lähes kaikkien reaalilukujen jatkuvan murto -osan laajennuksen elementtien geometrinen keskiarvo . $K_{0}\noin 2{,}685452$

Khinchin vakio on nimetty Aleksanteri Jakovlevich Khinchinin mukaan, joka löysi ja todisti tämän vakion ja sen kaavan olemassaolon vuonna 1935 [1] . Nimitys [2] tai [3] vastaa sukunimen "Khinchin" translitteroinnin ensimmäistä kirjainta eurooppalaisilla kielillä. $K_{0}$ $K$

Määritelmä

Lähes minkä tahansa reaaliluvun osalta sen jatkuvan murto -osan laajenemisen elementeillä on äärellinen geometrinen keskiarvo , joka on riippumaton luvusta [4] . Tätä arvoa kutsutaan Khinchin-vakioksi. $x$ $a_{i}$ $x$

Toisin sanoen, jos

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots }}}}}}}}\;

missä on kokonaisluku ja loput ovat luonnollisia , niin melkein kaikille $a_{0}$ $a_{i}$ $x$

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,} 6854520010\ldots

(sekvenssi A002210 OEIS : ssä ).

Tässä tapauksessa Khinchin-vakio voidaan ilmaista äärettömänä tulona $K_{0}$

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2} r}

Merkitys

Minkä tahansa reaaliluvun jatkuva murto-osan laajennus on luonnollisten lukujen sarja, ja mikä tahansa luonnollisten lukujen sarja on minkä tahansa 0-1:n välisen reaaliluvun jatkuva murto-osan laajennus. Jos kuitenkin valitaan satunnaisesti luonnollisten lukujen sarjan alkiot millään tavalla , silloin elementtien geometrinen keskiarvo ei yleisesti ottaen välttämättä ole sama kaikille tai lähes kaikille tuloksena oleville sekvensseille. Siksi Khinchinin vakion olemassaolo - se, että jatkuvan murto-osan laajennuksen alkioiden geometrinen keskiarvo osoittautuu samaksi melkein kaikille reaaliluvuille - on perustavanlaatuinen väite reaaliluvuista ja niiden jatkuvasta murto-osalaajennuksesta [5] , elegantti ja syvä tulos [6] , yksi matematiikan hämmästyttävimmistä faktoista [7] .

Todistuskaavio

Tässä on todiste Khinchin vakion olemassaolosta ja kaava sille, Tseslav Ryl-Nardzhevsky [8] , joka on yksinkertaisempi kuin Khinchinin todiste, joka ei käyttänyt ergodista teoriaa [9] .

Koska luvun laajennuksen ensimmäisellä elementillä jatkuvaksi murtoluvuksi ei ole merkitystä todistettavassa väitteessä ja koska rationaalilukujen Lebesguen mitta on yhtä suuri kuin nolla, voimme rajoittua tarkastelemaan irrationaalisia lukuja segmentillä , eli sarja . Näillä luvuilla on yksi yhteen vastaavuus lomakkeen jatkuvien murto-osien kanssa . Esitellään Gaussin kartoitus : $a_{0}$ $x$ $(0,1)$ $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$ $T\colon I\to I$

T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]

Joukon kullekin Borel - osajoukolle määritämme myös Gauss-Kuzmin-mitan : $E$ $minä$

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}

Sitten on todennäköisyysmitta Borelin osajoukkojen sigma-algebrassa . Mitta vastaa Lebesguen mittaa , mutta sillä on lisäominaisuus: muunnos säilyttää suuren . Lisäksi voidaan osoittaa, että kyseessä on mitalla varustetun mitattavan tilan ergodinen muunnos (tämä on todistuksen vaikein kohta). Sitten ergodinen lause sanoo, että mille tahansa -integroitavalle funktiolle keskiarvolla - sama lähes kaikille : $\mu$ $minä$ $\mu$ $minä$ $T$ $\mu$ $T$ $minä$ $\mu$ $\mu$ $f$ $minä$ $f\left(T^{k}x\oikea)$ $x$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x) =\int _{I}f\,d\mu

lähes kaikille mittarissa [9] .

x\in I

\mu

Valitsemalla toiminnon saamme: ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1))$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I} f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)} }{\bigr )}}{\ln 2}}

melkein kaikille . $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ $minä$

Kun otetaan eksponentiaali yhtälön molemmista osista, saadaan vasemmalla jatkuvan murto-osan ensimmäisten alkioiden geometrinen keskiarvo kohdassa , ja oikealle Khinchin-vakio [9] . $n$ $n\to\infty$

Sarjan laajennus

Khinchin-vakio voidaan esittää sarjana [10] :

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n} }\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

tai erottamalla sarjan ehdot,

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1 }{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n ,N+1)}{n}}\summa _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\oikea]

jossa on jokin kiinteä kokonaisluku, on Hurwitzin zeta-funktio . Molemmat sarjat lähentyvät nopeasti, koska se lähestyy nopeasti nollaa . Voit myös antaa dilogaritmin laajennuksen [2] : $N$ $\zeta (s,q)$ $\zeta (n)-1$ $n$

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2 }}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({ \frac {4}{k^{2}}}\right)\right]

Eri lukujen jatkuvan murtolaajennuksen elementtien geometrinen keskiarvo

Vaikka jatkuvan murto-osan laajennuksen alkioiden geometrinen keskiarvo on sama lähes kaikille luvuille, tätä ei ole todistettu käytännössä millekään tietylle luvulle , paitsi niille, jotka on erityisesti suunniteltu täyttämään tämän väitteen [3] [11] . Sellainen luku voidaan muodostaa asettamalla välittömästi sen laajennuksen alkiot jatkuvaksi murtoluvuksi esimerkiksi näin: mikä tahansa äärellinen määrä alkioita alussa ei vaikuta geometrisen keskiarvon raja-arvoon, joten ne voivat voidaan ottaa mikä tahansa (voit esimerkiksi ottaa ensimmäiset 60 elementtiä yhtä kuin 4) ; jokainen seuraava elementti on yhtä suuri kuin 2 tai 3 riippuen siitä, onko kaikkien aiempien elementtien geometrinen keskiarvo suurempi vai pienempi kuin Khinchin-vakio. Tässä nimenomaisessa esimerkissä Gauss-Kuzmin-tilastot eivät kuitenkaan päde . $K_{0}$ $x$

Lukuihin , joista tiedetään, että niiden alkioiden geometrinen keskiarvo, joka laajenee jatkuvaksi murtoluvuksi, ei ole yhtä suuri kuin Khinchinin vakio, sisältävät rationaaliluvut , toisen asteen irrationaalisuudet (erilaisten toisen asteen yhtälöiden juuret kokonaislukukertoimilla) ja luonnollisen logaritmin kanta . Vaikka rationaalilukuja ja toisen asteen irrationaalisuuksia on äärettömän paljon, ne muodostavat mittajoukon nolla , ja siksi niitä ei tarvitse sisällyttää "melkein kaikkiin" lukuihin Khinchinin vakion määritelmästä. $x$ $e$

Joidenkin lukujen jatkuvan murto-osan laajennuksen elementtien geometrinen keskiarvo näyttää (perustuen suoriin suurten keskiarvolaskelmiin ) konvergoivan Khinchinin vakioon, vaikka missään näistä tapauksista rajan tasa-arvoa ei ole todistettu. Erityisesti nämä luvut sisältävät luvun π , Euler-Mascheronin vakion , luvun , ja itse Khinchin-vakion. Jälkimmäinen seikka viittaa siihen, että Khinchinin vakio on irrationaalinen, mutta ei tiedetä varmasti, onko Khinchinin vakio rationaalinen, algebrallinen vai transsendentaalinen luku [3] . $n$ $\sin 1$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Tehon keskiarvo

Khinchin-vakiota voidaan pitää erikoistapauksena lukujen jatkuvaksi murto-osaksi laajenevan keskimääräisen tehoelementin osalta. Minkä tahansa sekvenssin tehokeskiarvo on $\{a_{n}\}$ $s$

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p }\oikea]^{1/p}

Jos ovat luvun laajennuksen alkioita jatkuvaksi murtoluvuksi, niin kaikki ja melkein kaikki annetaan kaavalla $\{a_{n}\}$ $x$ $K_{p}$ $p<1$ $x$

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k) +1)^{2}}}\oikea)\oikea]^{1/p}

Se saadaan laskemalla vastaava potenssilain keskiarvo Gauss-Kuzmin-tilastoista ja se vastaa funktion valintaa yllä olevassa todistuksessa [2] [8] . Voidaan osoittaa, että arvo saadaan rajassa . ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p))$ $K_{0}$ $p\to 0$

Erityisesti voidaan saada jatkuvan jakeen laajennuksen elementtien harmoninen keskiarvo . Tämä numero on

K_{-1}=1{,}74540566240\ldots

(sekvenssi A087491 OEIS : ssä ).

Muistiinpanot

↑ Khinchin A. Ya. Metrische Kettenbruchprobleme : [ saksa. ] // Compositio Mathematica. - 1935. - T. 1. - S. 361-382. MR : 1556899_ _
↑ 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997 .
↑ 1 2 3 Weisstein , Eric W. Khinchinin vakio Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Khinchin, 1960 , § 16 Keskiarvot, s. 110-111.
↑ McLeman, Cam. Kymmenen tyylikkäintä numeroa (linkki ei saatavilla) . Haettu 18. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 11. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ Aleksanteri Jakovlevich Khinchin (kuudeskymmenes syntymäpäivänään) // Uspekhi Mat. - 1955. - T. 10, no. 3(65). - S. 197-212.
↑ Finch, Steven R. Matemaattiset vakiot . - Cambridge University Press, 2003. - P. 60. - Errata and Addenda . — ISBN 978-0521818056 .
↑ 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. Ergodisista lauseista II (Jatkuvien murtolukujen ergodinen teoria) : [ eng. ] // Studio Mathematica. - 1951. - Voi. 12. - s. 74-79. MR : 13:757b .
↑ 1 2 3 Kac, Marc. Tilastollinen riippumattomuus todennäköisyys-, analyysi- ja lukuteoriassa. — Matematiikka. Association of America ja John Wiley & Sons, 1959, s. 89-94. — ISBN 978-0883850121 .
↑ Bailey, Borwein & Crandall, 1997 . Tämä artikkeli käyttää hieman erilaista Hurwitz zeta -funktion määritelmää.
↑ Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. American Mathematical Society. - 2008. - Voi. 136, nro 3. - P. 815-824. - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 . MR : 2361853 _ Katso OEIS - sekvenssi A089618 .

Kirjallisuus

Khinchin A. Ya Jatkuu murtoluvut . - M . : Fizmatlit, 1960. - 112 s.
Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. Khinchine-vakiosta // Laskennan matematiikka. - 1997. - Voi. 66 , nro. 217 . - s. 417-431 . - doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 . MR : 1377659_ _

Linkit

1 000 000 desimaaleja Khinchin-vakiosta Barcelonan yliopiston matematiikan tiedekunnan verkkosivuilla