Kvadraattinen irrationaalisuus

Toisen asteen irrationaalisuus on irrationaalinen luku , joka on rationaalisilla kertoimilla varustetun toisen asteen polynomin reaalijuuri , jossa on rationaaliset kertoimet [1] ). Lähteiden kannalta neliöllisen irrationaalisuuden ymmärretään yleensä osoitettujen yhtälöiden monimutkaisiksi juuriksi. $ax^{2}+bx+c=0$ $a,b,c$ $ax^{2}+bx+c$

Luvun irrationaalisuus tarkoittaa, että sitä ei voida esittää rationaalilukuna (murtolukuna). Tästä seuraa, että polynomi on redusoitumaton rationaalilukujen kentässä , eli se ei hajoa tässä kentässä ensimmäisen asteen tekijöiksi [1] . $x$ $ax^{2}+bx+c=0$ $\mathbb {Q} ,$

Algebralliset ominaisuudet

Neliöyhtälön ratkaisu antaa kaavan: $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a)),

jossa ( yhtälön diskriminantti ). Juuren todellisuus tarkoittaa, että minkä tahansa neliöllisen irrationaalisuuden muoto on näin: $D=b^{2}-4ac$ $D\geqslant 0.$

x=u+v{\sqrt {D)),

missä ovat rationaaliluvut ja , ja radikaalilauseke on ei-negatiivinen, eikä se ole rationaaliluvun täydellinen neliö [2] . $u,v,D$ $v\neq 0$ $D$

Esimerkkejä: . $11-{\sqrt {2));\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Määritelmästä seuraa, että neliölliset irrationaalisuudet ovat toisen asteen algebrallisia lukuja . Huomaa, että käänteiselementti for on myös neliöllinen irrationaalisuus: $x=u+v{\sqrt {D))$

{1 \over u+v{\sqrt {D}}}={uv{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.

Lukua kutsutaan konjugaatiksi , koska on olemassa kaavoja: $x'=uv{\sqrt {D))$ $x=u+v{\sqrt {D}).$

(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\ frac {1}{x'}}.

Kanoninen muoto

Yleisyyttä menettämättä yhtälö voidaan yksinkertaistaa seuraavasti. $ax^{2}+bx+c=0$

Tarkasteltavana olevan 2. asteen yhtälön kertoimet voidaan tehdä kokonaislukuina , koska murto-osien nimittäjistä on helppo päästä eroon kertomalla yhtälön molemmat puolet kaikkien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella . Diskriminantista tulee tällöin myös kokonaisluku. $D$
Jos johtava kerroin niin kerro yhtälö . $a<0,$ $-yksi$
Lopuksi jaamme tuloksena olevan yhtälön suurimmalla yhteisellä jakajalla gcd . $ax^{2}+bx+c=0$ $(a,b,c)$

Tuloksena saadaan yhtälö , jossa on yhteislukukertoimet , ja johtava kerroin on positiivinen [3] . Tämä yhtälö liittyy ainutlaatuisesti sen juuripariin, ja tällaisten yhtälöiden joukko on laskettavissa . Siksi myös neliöllisen irrationaalisuuden joukko on laskettavissa. $ax^{2}+bx+c=0$

Usein on kätevää tehdä vielä yksi muutos juurilausekkeeseen : jos kanoniseen hajotukseen sisältyy neliöitä , otamme ne pois radikaalimerkistä, jotta jäljellä oleva arvo on vapaa neliöistä . $x=u+v{\sqrt {D)),$ $D$ $D$

Neliölliset kentät

Kvadraattisten irrationaalien summalla, erotuksella ja tulolla, joilla on sama diskriminantti, on joko sama muoto tai ne ovat rationaalilukuja, joten ne muodostavat yhdessä kentän , joka on rationaalilukukentän ℚ toisen potenssin normaali laajennus . Tämä kenttä on merkitty neliökenttään . Mikä tahansa tällainen laajennus voidaan saada kuvatulla tavalla. Laajennuksen Galois -ryhmä sisältää identtisen automorfismin lisäksi irrationaalisen luvun yhdistämisen konjugaattiin (edellä mainitussa merkityksessä) [4] . $D$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $\mathbb {Q}$

Oletetaan, että kuten edellä on kuvattu, on neliötön kokonaisluku. Sitten eri arvoille saadaan eri neliökentät [5] . $D$ $D$

Neliöllisen kentän kokonaislukujen renkaan voi muodostaa eli joukon pelkistettyjä polynomeja kokonaislukukertoimilla, joiden alkukerroin on 1. Neliötön kenttä ei voi olla jaollinen 4:llä, joten tapauksia on kaksi [ 4] riippuen siitä, mikä jäännös antaa jaettuna 4:llä. $D$ $D$

Jos sillä on muoto , kokonaislukuelementit ovat muodon numeroita , missä ovat luonnollisia lukuja. $D$ $4k+1,$ $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $m,n$
Jos on muoto tai sitten kokonaislukuelementit ovat muodon numeroita , missä ovat luonnollisia lukuja. $D$ $4k+2$ $4k+3,$ $m+n{\sqrt {D))$ $m,n$

Yhteys jatkuviin murtolukuihin

Todelliset toisen asteen irrationaalisuudet liittyvät jatkuviin murtolukuihin Lagrangen lauseella (kutsutaan joskus Euler–Lagrange-lauseeksi ) [6] :

Reaaliluku on neliöllinen irrationaalisuus silloin ja vain, jos se hajoaa äärettömäksi jaksoittaiseksi jatkuvaksi murto-osaksi.

Esimerkki:

{\sqrt {3}}=1,732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]

Jatkuvaa murto-osaa, jonka jakso alkaa ensimmäisestä linkistä, kutsutaan puhtaasti jaksolliseksi . Evarist Galois osoitti vuonna 1828, että neliöllisen irrationaalisuuden jatkuva murto-osa on puhtaasti jaksollinen silloin ja vain, jos ja konjugoitu irrationaalisuus on välissä . Hän osoitti myös, että puhtaasti jaksollisen hajonnan tapauksessa konjugoidulla neliöllisen irrationaalisuuden linkit ovat samat, mutta järjestetty päinvastaiseen järjestykseen [7] . $x$ $x>1$ $x'$ $(-1;0)$

Yleistys

Neliöllinen irrationaalisuus on " th-asteen irrationaalisuuden" erikoistapaus, joka on kentässä pelkistymättömän :nnen asteen polynomin juuri , jossa on kokonaislukukertoimia. Rationaaliset luvut saadaan, kun ja toisen asteen irrationaalisuus vastaavat tapausta $n$ $\mathbb {Q}$ $n$ ${\näyttötyyli n=1,}$ $n=2.$

Jotkut lähteet sisältävät toisen asteen irrationaalisuuden joukossa myös toisen asteen yhtälöiden kompleksiset juuret (esim. Gaussin kokonaisluvut tai Eisensteinin luvut ).

G. F. Voronoi teoksessaan "Algebrallisista kokonaisluvuista riippuen 3. asteen yhtälön juuresta" (1894) laajensi teorian (mukaan lukien jatkuvat murtoluvut) kuutioirrationaalisuuden tapaukseen.

Historia

Theodore of Cyrene ja hänen oppilaansa Theaetetus Ateenalainen (4. vuosisadalla eKr.) osoittivat ensimmäisinä, että jos luku ei ole täydellinen neliö , se ei ole rationaalinen luku, eli sitä ei voida ilmaista tarkasti murtolukuna. Tämä todiste perustui " Eukleideen lemmaan ". Euclid omisti kymmenennen kirjan hänen Principia näihin kysymyksiin ; hän käytti nykyisten lähteiden tavoin aritmeettisen peruslauseen . $N$ ${\sqrt {N}}$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kvadraattinen irrationaalisuus // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Galochkin A. I. Kvadraattinen irrationaalisuus // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , s. 207.
↑ 1 2 Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - M .: Mir, 1987. - S. 230-232. — 428 s.
↑ Bukhshtab A.A., 2015 , s. 149-150.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , s. 208-209.
↑ Davenport G. Korkeampi aritmetiikka . - M .: Nauka, 1965. - S. 100 .

Kirjallisuus

Bukhshtab A. A. Kvadraattiset irrationaalisuudet ja jaksolliset jatkuvat murtoluvut // Numeroteoria. - 4. painos - M. : Lan, 2015. - 384 s. - ISBN 978-5-8114-0847-4 .
Nesterenko Yu. V. Numeroteoria : oppikirja opiskelijoille. korkeampi oppikirja laitokset. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Khinchin A. Ya Jatkuu murtoluvut . - M .: GIFML, 1960.

Linkit

Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Jatkuu murtolukulaskin neliöllisille irrationaaleille Arkistoitu 18. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
Todiste siitä, että e ei ole neliöllinen irrationaali

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2