Keynes-Ramseyn sääntö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. toukokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Keynes-Ramseyn sääntö on optimaalisen kuluttajakäyttäytymisen sääntö intertemporaalisen valinnan ongelmassa . Sääntö kuvaa optimaalista kulutuksen kehityskulkua ajan kuluessa tietyllä tulotasolla, säästöjen korolla ja subjektiivisella diskonttokorolla [1] .

Keynes-Ramseyn sääntö yhdistää optimaaliset kulutustasot kahdella vierekkäisellä ajanjaksolla. Siksi se kuvaa kuluttajien käyttäytymisen optimaalisia kehityskulkuja dynaamisissa makrotaloudellisissa malleissa.

Matemaattisesta näkökulmasta Keynes-Ramseyn sääntö on optimaalisen säätöongelman välttämätön optimiehto . Se tunnetaan myös nimellä Euler-Lagrange yhtälö [2] .

Historia

Keynes-Ramseyn sääntö on nimetty Frank Ramseyn ja hänen mentorinsa John Maynard Keynesin mukaan . Ramsey sai säännön vuonna 1928 optimaalisen säästömallin ratkaisun tuloksena. Myöhemmin tämä malli kehitettiin talouskasvun teoriassa ja tunnetaan nykyään Ramsey-Kass-Kopmansin mallina [3] . Keynes auttoi antamaan tämän säännön taloudellisen tulkinnan:

”Säästöjen pitäisi riittää saavuttaaksemme tai tilapäisesti lähestyäksemme kyllästymispistettä (”onnellisuuspiste”), mutta tämä ei tarkoita, että meidän pitäisi säästää kaikki tulomme. Mitä enemmän säästämme, sitä nopeammin saavutamme kyllästymisen, mutta sitä vähemmän iloa saamme juuri nyt, joten meidän on valittava toisen ja toisen välillä. Mr. Keynes osoitti minulle, että sääntö, joka ohjaa vaadittujen säästöjen määrää , voidaan välittömästi päätellä näistä näkökohdista .

Moderni makrotalous toimii mikropohjaisilla malleilla , joissa kuluttajien valinnan ajallinen intertemporaalinen ongelma on samanlainen kuin Ramseyn muotoilema ongelma. Se on pääasiallinen tapa kuvata kuluttajakäyttäytymistä, joten Keynes-Ramseyn sääntö erilaisissa muunnelmissaan on välttämätön elementti, joka kuvaa mallien dynamiikkaa.

Säännön matemaattinen muotoilu jatkuvassa ajassa

Keynes-Ramseyn sääntö on muotoiltu seuraavaksi suhteeksi kulutuksen kasvuvauhdin (per capita) ja nykyisen markkinakoron ja intertemporaalisen mieltymyskertoimen välisen eron välillä:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, missä on asukasta kohden kulutuksen aikaderivaata, vastaavasti, on asukasta kohden kulutuksen (jatkuva) kasvunopeus aikayksikköä kohti;

{\näyttötyyli {\piste {c}}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta }=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac {dMU/MU}{dc/c}}

- rajahyödyllisyyden elastisuus suhteessa kulutukseen, otettuna päinvastaisella merkillä ( Arrow-Pratt riskikartoituksen suhteellinen mitta );

r_{t}

- omaisuuden tuottoprosentti (sen oletetaan myös vastaavan velan korkoa);

\rho

on kuluttajan intertemporaalinen mieltymyskerroin, .

\rho >0,\rho =const

Tausta ja säännön johtaminen jatkuvassa ajassa

Ensinnäkin malli olettaa, että keskimääräinen yksilö maksimoi seuraavan muotoisen intertemporaalisen hyödyllisyysfunktion

U=\int _{0}^{{\infty }}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, missä on yksilön kulutus tällä hetkellä ? on kuluttajan intertemporaalinen mieltymyskerroin, .

c_{t}

t

\rho

\rho >0,\rho =const

Intertemporaalisen hyödyllisyysfunktion maksimointi toteutetaan ottaen huomioon yksilön tuloihin liittyvä budjettirajoitus. Tuotot aikayksikköä kohti muodostuvat palkoista ja omaisuustuloista (säästöistä) markkinakorolla. Näin ollen tulo aikayksikköä kohti miinus kulutus edustaa varojen kasvua aikayksikköä kohti. Näin ollen budjettirajoite on muodoltaan varojen differentiaaliyhtälö:

{\piste {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

Tässä tapauksessa optimointitehtävän Hamiltonin on yhtä suuri kuin

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

Tarvittavat optimiolosuhteet ovat muotoa:

{\partial H \over \partial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\displaystyle {\piste {\lambda _{t))}=-{\partial H \over \partial a_{t))=-\lambda _{t}r_{t))

Ensimmäinen ehto voidaan esittää muodossa

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Erottamalla tämä tasa-arvo ajan suhteen, saamme:

{\piste {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\piste {c_{t} }}-\rho =-\theta {\piste {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Ottaen huomioon, että toisen ehdon mukaan saamme lopulta ${\displaystyle {\piste {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=-r_{t))$

{\piste {c_{t))}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Tämä tulos ei muutu, jos malliin lisätään vakio väestönkasvu ja (tai) lisämuuttuja, josta hyötyfunktio riippuu (yleensä yksilön "vapaa-aika" tai työvoiman tarjonta).

Säännön johtaminen diskreetissä ajassa

Kahden jakson ongelma

Kuluttaja ratkaisee intertemporaalisen valintaongelman valitsemalla kullekin kahdelle ajanjaksolle optimaalisen kulutustason kunkin ajanjakson tietylle tulotasolle. Kuluttajan tavoitefunktio näyttää tältä: ${\näyttötyyli t=1,2}$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\to \max _{C_{1},C_{2))

missä on hyödyllisyysfunktio ; — hetkellinen (yhden jakson) hyödyllisyysfunktio; - kulutuksen taso ensimmäisen ja toisen ajanjakson aikana; — subjektiivinen alennustekijä. $U(\cdot )$ $u(\cdot)$ ${\displaystyle C_{1},C_{2))$ $\beeta$

Kuluttajan budjettirajoitus näyttää tältä:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

missä on tulotaso ensimmäisellä ja toisella ajanjaksolla; - säästöjen korko , joka toimii diskonttokorkona . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

Ongelma ratkaistaan määrittelemättömien Lagrange-kertoimien menetelmällä . Lagrange-funktio ongelmalle, jossa on rajoitus:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2)){1+r)) -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\to \max _{C_{1},C_{2}}

Ensimmäisen asteen optimaalisuusehdot (ottamatta huomioon budjettirajoitusta):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

Tästä seuraa Keynes-Ramseyn sääntö:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Yleinen tapaus

Ongelma voidaan yleistää rajallisen tai äärettömän aikahorisontin tapaukseen.

U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\to \max _{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac {Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

Ongelma ratkaistaan määrittelemättömien Lagrange-kertoimien menetelmällä . Lagrange-funktio ongelmalle, jossa on rajoitus:

L=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\sum _{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\to \max _{C_{t}}

Ensimmäisen asteen optimaalisuusehdot (ottamatta huomioon budjettirajoitusta):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

Jakamalla ehdot viereisille ajanhetkille, saadaan Keynes-Ramseyn sääntö yleisessä muodossa:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley . Makrotalouden luentoja (määrätön) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - s. 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligator, Michael D. Matemaattinen optimointi ja talousteoria . - Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1971. - S. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP Säästämisen matemaattinen teoria // Talouslehti : päiväkirja. - 1928. - Voi. 38 , ei. 152 . - s. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , s. 545)