Mi Scattering

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. elokuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Valon sironta pallomaisella hiukkasella (Mie-sironta) on klassinen sähködynamiikan ongelma, jonka Gustav Mie ratkaisi vuonna 1908 mielivaltaisen kokoiselle pallomaiselle hiukkaselle [1] .

Ongelma koskee sähkömagneettisen aallon , jolla on sähkökenttävoimakkuus , sirontaa

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},

jossa ω on taajuus , k on aaltovektori ja E 0 on aallon amplitudi , pallomaisessa hiukkasessa, jonka säde on R ja permittiivisyys ε .

Ratkaisu ongelmaan löydetään hajottamalla sähkömagneettinen kenttä vektorin pallomaisiin harmonisiin .

Laadulliset tulokset

Sironta riippuu hiukkaskoon ja valon aallonpituuden suhteesta hiukkasmateriaalissa. Rayleigh-sironta on Mie-sironnan erikoistapaus tapaukseen, jossa hiukkanen on paljon pienempi kuin aallonpituus. Tässä tapauksessa ulkoinen sähkömagneettinen aalto polarisoi hiukkasen ja herättää siinä muuttuvan dipolimomentin . Dipolimomentti, joka värähtelee ajassa ulkoisen aallon taajuuden kanssa, säteilee uudelleen valoa dipolimomentille ominaisella suuntauskaaviolla. Jos hiukkasten permittiivisyyden taajuusriippuvuus voidaan jättää huomiotta, sirontaintensiteetti riippuu taajuudesta neljänteen potenssiin, mikä johtaa vahvaan lyhytaaltosirontaan . Hajavalkoista valoa hallitsee sininen sävy, kun taas hajaantumatonta valoa hallitsee punainen.

Jos hiukkaskoko on lähellä valon aallonpituutta , sirontakuviosta tulee monimutkainen. Hiukkasen pinnan eri osista heijastuneiden aaltojen interferenssi ilmenee . Tietyssä kulmassa sironneen valon intensiteetti riippuu siitä, kuinka monta kertaa aalto sopii hiukkasen halkaisijaan, joten se riippuu voimakkaasti hiukkasen koosta. Kun hiukkaskokoon mahtuu useita aallonpituuksia, maksimien ja minimien vuorottelu säteilykuviossa käy niin tiheäksi, että kun valkoinen valo osuu esimerkiksi kolloidiseen liuokseen, havainnoitsija näkee hajallaan olevaa valkoista valoa. Tämän seurauksena aine, jossa on suuri määrä tällaisia hiukkasia, muuttuu läpinäkymättömäksi. Tästä johtuu pilvien valkoinen väri taivaalla, maidon valkoinen väri jne . Kolloidisten hiukkasten liuos voi värjäytyä, kun hiukkasten aines absorboi selektiivisesti valoa tietyllä spektrialueella.

Jos pallon mitat ovat paljon suurempia kuin valon aallonpituus, niin pallon pinta käyttäytyy kuin tasainen pinta. On valon taittuminen ja heijastus , jotka kuvataan Fresnelin kaavoilla .

Tasoaallon sironta pallomaisella hiukkasella

Pallomaisen nanohiukkasen aiheuttama sirontaongelma ratkeaa täsmälleen hiukkaskoosta riippumatta. Tarkastellaan z - akselia pitkin etenevän tasoaallon sirontaa polarisoituneena pitkin x . Hiukkasen permittiivisyys ja permeabiliteetti ovat ja , kun taas väliaine on ja vastaavasti. Sirontaongelman [2] ratkaisemiseksi kirjoitetaan ensin Helmholtzin vektoriyhtälön ratkaisut pallokoordinaateissa , koska hiukkasen sisällä ja ulkopuolella olevien kenttien on täytettävä se. Helmholtzin yhtälö: $\varepsilon_{1}$ $\mu_{1}$ $\varepsilon$ $\mu$

\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^ {2}\mathbf {H} =0

Helmholtzin yhtälön lisäksi kenttien on täytettävä myös ehdot ja , . Kaikki tarvittavat ominaisuudet omaavat vektorin pallomaiset harmoniset , jotka esitellään seuraavasti: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$ $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\oikea)

— magneettiset harmoniset

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- sähköiset harmoniset

missä

{\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

{\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

ja ovat niihin liittyviä Legendren polynomeja , ja se on mikä tahansa pallomaisista Besselin funktioista . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Seuraavaksi on tarpeen laajentaa tulevaa tasoaaltoa vektorin pallomaisten harmonisten suhteen .

\mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{ \infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r } )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\oikea)

\mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{ \frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\oikea)

tässä yläindeksi tarkoittaa, että funktioiden säteittäisessä osassa on pallomaisia Besselin funktioita. $(yksi)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Laajenemiskertoimet saadaan ottamalla muodon integraalit

{\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{ e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }| \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}

tässä tapauksessa kaikki kertoimet kohdassa asetetaan nollaan, koska integraali kulman yli on asetettu nollaan. $m\neq 1$ $\varphi$

Sitten päällekkäin

1) reunaehdot pallon ja ympäristön välisellä rajalla (jotka mahdollistavat tulo-, sisä- ja hajakenttien laajenemiskertoimien yhdistämisen),

2) ratkaisun rajoitusehto origossa (täten pallomaiset Besselin funktiot valitaan sisäisen kentän generoivien funktioiden säteittäiseen osaan), $\psi _{^{e}_{o}mn}$

3) sironnetun kentän asymptotiikka äärettömyydessä vastaa hajaantuvaa palloaaltoa (tältä osin generointifunktioiden säteittäisen osan sironneen kentän osalta valitaan ensimmäisen tyyppiset pallomaiset Hankel-funktiot ). $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Sironneet kentät kirjoitetaan vektorin harmonisten laajennukseksi as

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3 )}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\oikea)

\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n} \mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf { r} )\oikea)

tässä yläindeksi tarkoittaa, että funktioiden säteittäisessä osassa ovat pallomaiset Hankel-funktiot ja , $(3)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$ $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)))$

ja sisäinen:

\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{( 1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\oikea)

\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n }\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^ {(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\oikea)

$k={\frac {\omega }{c}}n$ on aaltovektori hiukkasen ulkopuolella, on aaltovektori hiukkasmateriaalin väliaineessa ja ovat väliaineen ja hiukkasen taitekertoimet . Rajaehtojen soveltamisen jälkeen saadaan kertoimien lausekkeet: $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}$ $n$ $n_{1}$

c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho ) \right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\ rho )}}

d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\ rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2 }\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1 }j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1} )-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\oikea]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \vasen[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\oikea ]'h_{n}(\rho )}}

a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho ) }{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^ {2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

Tässä , , missä on nanohiukkasen säde, ja ovat ensimmäisen tyyppiset pallomaiset Besselin ja Hankelin funktiot, vastaavasti. $\rho =ka$ $\rho _{1}=k_{1}a$ $a$ $j_n$ $h n}$

Sironta- ja ekstinktiopoikkileikkaukset

Sironta- ja ekstinktiopoikkileikkaukset voidaan saada integroimalla sähkö- ja magneettikenttien vastaavat funktiot suuren säteen ulkopallolla. [2] Vektoripallomaisten harmonisten ortogonaalisuusominaisuuksien ansiosta saadaan yksinkertainen suhde Mie-kertoimien ja poikkileikkausten välille. Sironta poikkileikkaus:

C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^ {2}+|b_{n}|^{2})

sammumisen poikkileikkaus:

C_{ext}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+ b_{n})

Sovellus aliaallonpituushiukkasiin

Jos sirontapallon materiaaliin mahtuu useita aallonpituuksia, niin sironneilla kentillä on joitain erityispiirteitä. Lisäksi puhumme sähkökentän muodosta, koska magneettikenttä saadaan siitä ottamalla roottori.

Kaikki Mie-kertoimet riippuvat taajuudesta ja niillä on maksimi, kun nimittäjä on lähellä nollaa (tarkka nolla saavutetaan kompleksisilla taajuuksilla). Tässä tapauksessa tilanteet ovat mahdollisia, kun yhden tietyn harmonisen panos hallitsee merkittävästi sirontaa. Tällöin sironneen kentän suuntakuvio on suurilla etäisyyksillä hiukkasesta samanlainen kuin vektorin pallomaisten harmonisten kulmaosan suuntakuvio. Yliaallot vastaavat sähködipoleja (jos tämän harmonisen osuus hallitsee sähkökentän laajenemista, niin kenttä on samanlainen kuin sähködipolin kenttää), vastaavat magneettisen dipolin sähkökenttää ja ovat sähköisiä ja magneettisia . kvadrupoleja, oktupoleja ja niin edelleen. Sirontakertoimien maksimiarvoja (samoin kuin niiden vaiheen muutosta ) kutsutaan moninaparesonansseiksi. ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\pi$

Sironnan poikkileikkauksen aallonpituudesta riippuvuuden muoto ja spesifisten resonanssien osuus riippuu voimakkaasti hiukkasen materiaalista. Esimerkiksi kultahiukkaselle, jonka säde on 100 nm, sähködipolin osuus sironnasta hallitsee optisella alueella, kun taas piihiukkasilla on voimakkaita magneettisia dipoli- ja kvadrupoliresonansseja. Metallipartikkelien kohdalla sirontapoikkileikkauksessa näkyvää huippua kutsutaan myös paikalliseksi plasmoniresonanssiksi .

Pienten hiukkasten tai pitkien aallonpituuksien rajalla sirontapoikkileikkausta hallitsee sähköinen dipoliosuus.

Tulevan tason aallon muut suunnat

Kun kyseessä on x - polarisoitu tasoaalto, joka saapui pitkin z , kaikkien kenttien laajennukset sisälsivät vain harmonisia, joiden m=1 , mutta näin ei ole mielivaltaisen tuloaallon tapauksessa [3] . Kierretylle tasoaaltolle voidaan saada laajenemiskertoimet esimerkiksi käyttämällä sitä tosiasiaa, että kierrosten aikana vektorin pallomaiset harmoniset muuttuvat toistensa läpi tietyllä tavalla . Tässä tapauksessa hajakenttä laajenee kaikkien mahdollisten harmonisten yli:

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf { M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Äiti}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ) +D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}( k,\mathbf {r} ))

Sitten sironnan poikkileikkaus ilmaistaan kertoimilla seuraavasti:

C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n( n+1)}{(2n+1)}}\times {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(nm)! }}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Äiti}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2| D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.

Kerker-efekti

Vuonna 1983 Kerker, Wang ja Giles [4] keskustelivat hiukkasten sironnan suunnasta . Erityisesti osoitettiin, että takaisinsironta on täysin tukahdutettu hypoteettisten hiukkasten osalta. $\mu \neq 1$ $\mu=\varepsilon$

Lisäksi eteenpäin ja taaksepäin sironnan poikkileikkaukset ilmaistaan yksinkertaisesti Mie-kertoimina [5] [6] :

C_{sca}^{backward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}

C_{sca}^{forward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}

Tietyille kerroinyhdistelmille yllä olevat lausekkeet voidaan minimoida. Joten esimerkiksi kun termit kanssa voidaan jättää huomiotta (dipoliapproksimaatio), , vastaa minimitakaisinsirontaa (magneettiset ja sähköiset dipolit ovat absoluuttisesti yhtä suuret ja ovat samassa vaiheessa). Tätä tilaa kutsutaan myös "Kerkerin ensimmäiseksi tilaksi". ja - pienin eteenpäin sironta - "Kerkerin toinen ehto". Ongelman tarkalleen ratkaisemiseksi on otettava huomioon kaikkien multipolien panokset. Sähköisten ja magneettisten dipolien summa muodostaa Huygensin lähteen $n>1$ $(a_{1}-b_{1})=0$ $(a_{1}+b_{1})=0$

Dielektrisillä hiukkasilla suurin eteenpäin sironta havaitaan aallonpituuksilla, jotka ovat suurempia kuin magneettisen dipoliresonanssin aallonpituus, ja taaksepäin - lyhyemmillä. [7]

Siellä on myös lyhyt YouTube-video , joka selittää vaikutuksen .

Dyad Greenin pallon funktio

Vihreän funktio on ratkaisu seuraavaan yhtälöön:

\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega } {c}}\oikea)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ' )+{\bf {\hat {1))}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),

missä on identiteettimatriisi, for , ja for . Koska kaikki kentät ovat vektorikenttiä, Greenin funktio on 3 x 3 matriisi ja sitä kutsutaan dyadiksi. Jos järjestelmässä indusoituu polarisaatio , kentät ilmaistaan muodossa ${\displaystyle {\hat {\bf {1))))$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ $r<a$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ $r>a$ $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$

\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G} ))({\bf {r,r')),k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')

Kuten kenttiä, Greenin funktiota voidaan laajentaa vektoripallomaisissa harmonisissa [8] . Greenin vapaan tilan funktio [9] :

{\hat {\bf {G))}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r))\ otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _ {n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)} }{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r } ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1) }[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^ {(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}, {\text{if }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\ toisinaan {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3 )}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text {if }}r>r'\end{array}}\right.

Pallon läsnäollessa vihreän funktio laajenee myös vektorin pallomaisissa harmonisissa. Sen ulkonäkö riippuu ympäristöstä, jossa pisteet ja [10] sijaitsevat . $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r))'$

Kun molemmat pisteet ovat pallon ulkopuolella( ): $r>a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hattu {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty } \sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(nm)! } {(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n} ^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )))

jossa laajenemiskertoimet:

a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1 })\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\ rho h_{n}(\rho )\oikea]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}( \rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\oikea]'j_{n}( \rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{ 2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.

Molemmat pisteet pallon sisällä ( ): $r<a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hattu {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1)))+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n= 1 }^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1))){\ frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_ {1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '] )+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )} ,

Hajoamiskertoimet:

c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{ n}(\rho _{1})-\vasen[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\oikea]'h_{n}(\rho )}{\vasen[\ rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_ {n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{ 1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Lähde sisällä ja havainto ulkopuolelta ( ): $r>a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik_{1} }{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+ 1 }{n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_ {n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

laajenemiskertoimet:

a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n }(\rho _{1})-\vasen[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\oikea]'j_{n}(\rho _{1})}{\ vasen[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n }(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\oikea] 'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n} (\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Lähde on ulkopuolella ja havainto sisällä ( ): $r<a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik}{4 \pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{ n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_ {n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

jossa laajenemiskertoimet:

c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left [\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _ {1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1} \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.

Ulkoiset linkit

SCATTERLIB ja scattport.org Valonsirontakoodien kokoelmat FORTRANissa , C++ :ssa , IDL :ssä , Pascalissa , Mathematicassa ja Mathcadissa
Online-Mie-sirontalaskin laskee sironnan poikkileikkausspektrin ja moninapalaajennuksen mielivaltaiselle monikerroksiselle pallolle, on lähikenttälaskenta. Materiaaliparametrit on otettu sivustolta refractiveindex.info . Laskimen lähdekoodi on avoimen lähdekoodin ja osa Scattnlay- projektia, avoimen lähdekoodin C++- ohjelmistoa Mie Scatteringille (Multilayer Sphere Near and Far Field Solution), kutsuttavissa Pythonista ja JavaScriptistä .
Sironta monikerroksisella pallolla . Laskenta sironnasta monikerroksisesta pallosta MatLabissa tapauksissa, joissa lähde on pistedipoli ja tasoaalto. Kuvaus OSA Continuumissa
JMIE (2D C++ -koodi analyyttisten kenttien laskemiseen äärettömästä sylinteristä, kehittäjä Jeffrey M. McMahon)
Scatlab . Ohjelmisto Windowsille.
Online Mi-laskin laskee säteilykuvioita jne. tietyille parametreille. Pythonissa on saman tekijän Miepython- paketti .
phpMie Online Mi-laskin PHP :llä .
PyMieScatt , Mi:n ratkaisu Pythonissa .
pyMieForAll , paketti Mie-ongelman ratkaisemiseen C++ :ssa ja Python - kuoressa .
MiePlot on ohjelma, jolla lasketaan erilaisia Mie-teorioihin liittyviä fyysisiä vaikutuksia ( vain Windows )

Linkit

↑ G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Leipzig, Ann. Phys. 330, 377 - 445 (1908). DOI: https://dx.doi.org/10.1002/andp.19083300302
↑ 1 2 Boren K., Huffman D. Valon absorptio ja sironta pienten hiukkasten toimesta. - M .: Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 s.
↑ KA Fuller, sekoittuneiden pallojen sironta- ja absorptiopoikkileikkaukset. I. Ulkoisen aggregoinnin teoria, J. Opt. soc. Olen. A 11, 3251-3260 (1994)
↑ M. Kerker, DS Wang ja CL Giles, Electromagnetic scattering by magnetic spheres, J. Opt. soc. Olen. 73, 765-767 (1983)
↑ Tzarouchis, D.; Sihvola, A. Valonsironta dielektrisellä pallolla: Perspectives on the Mie Resonances. Appl. sci. 2018, 8, 184.
↑ Wei Liu ja Yuri S. Kivshar, Generalized Kerker Effects in nanophotonics and meta-optics [Kutsuttu], Opt. Express 26, 13085-13105 (2018)
↑ Fu, Y., Kuznetsov, A., Miroshnichenko, A. et ai. Piin nanohiukkasten suunnattu näkyvän valon sironta . Nat Commun 4, 1527 (2013) doi: 10.1038/ncomms2538
↑ L.-W. Li, P.-S. Kooi, M.-S. Leong ja T.-S. Joo. Sähkömagneettisen dyadisen vihreän toiminto pallomaisessa monikerroksisessa materiaalissa . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 42(12):2302-2310, joulukuu 1994.
↑ CT Tai, Dyadic Greenin funktiot sähkömagneettisessa teoriassa. Scranton, PA: lntext Educational, 1971.
↑ Mason, V. Bradford, Sähkömagneettinen säteily yksinkertaisista lähteistä homogeenisen dielektrisen pallon läsnä ollessa , Ph.D. Väitös, sähkö- ja tietokonetekniikan laitos, Michiganin yliopisto, Ann Arbor, Michigan (1972)