Levi-Civita symboli

Levi-Civita-symboli on matemaattinen symboli, jota käytetään tensorianalyysissä . Nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan . Nimetty . Tässä on kolmiulotteisen avaruuden symboli, muiden ulottuvuuksien kohdalla indeksien määrä muuttuu (katso alla). $\varepsilon_{ijk}$

Muut nimet:

täysin antisymmetrinen yksikkötensori ,
täysin antisymmetrinen yksikkötensori ,
täysin vinossa symmetrinen kohde ,
Levi-Civita-tensori (Levi-Civita-symboli on tämän tensorin komponenttimerkintä),
vinosymmetrinen Kronecker-symboli (tätä termiä käytettiin Akiviksen ja Goldbergin tensorilaskennan oppikirjassa).

Määritelmä

Levi-Civita-symboli määritellään kolmiulotteisessa avaruudessa oikealla ortonormaalilla pohjalla (tai yleensä oikealla pohjalla metriikan yksikködeterminantin kanssa):

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

eli indeksien i , j , k parilliselle permutaatiolle se on yhtä suuri kuin 1 (kolmoille (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), parittomille permutaatio on yhtä suuri kuin −1 (tripleteille (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)) ja muissa tapauksissa se on yhtä suuri kuin nolla (toistuvien indeksit). Vasemman osan komponenteille otetaan vastakkaiset luvut. $\varepsilon_{ijk}$

Yleisessä tapauksessa (mielivaltaiset vinot koordinaatit oikeanpuoleisilla kantavektoreilla) tämä määritelmä muutetaan yleensä muotoon

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g)),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

missä on metrisen tensorin matriisin determinantti , joka on kannan kattaman suuntaissärmiön tilavuuden neliö. Vasemman osan komponenteille otetaan vastakkaiset luvut. $g$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

Tällainen komponenttijoukko on (tosi) tensori . Jos, kuten kirjallisuudessa joskus tehdään, yllä olevia kaavoja käytetään määritelmänä mille tahansa - sekä oikealle että vasemmalle - koordinaattijärjestelmälle, niin tuloksena oleva lukujoukko edustaa pseudotensoria . Tässä tapauksessa se on sama , mutta korvaava $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk))$ ${\sqrt {g))$ $1/{\sqrt {g}).$

$\varepsilon_{ijk}$ voidaan myös määritellä niiden kantavektoreiden sekatuloksi , joissa symbolia käytetään:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Tämä määritelmä koskee mitä tahansa oikeaa tai vasenta perustaa, koska vasemman ja oikean emäksen etumerkkiero on sekatuotteessa. Jokaisen nollasta poikkeavan komponentin absoluuttinen arvo on yhtä suuri kuin kannan kattama suuntaissärmiön tilavuus . Tensori, kuten odotettiin, on antisymmetrinen minkä tahansa indeksiparin suhteen. Määritelmä vastaa yllä olevaa. $\{{\vec {e_{i))}\}$

Joskus he käyttävät Levi-Civita-symbolin vaihtoehtoista määritelmää ilman kertojaa missään emäksissä (eli niin, että sen kaikki komponentit ovat aina yhtä suuria kuin ±1 tai 0, kuten yllä olevassa määritelmässä ortonormaalisille emäksille). Tässä tapauksessa se ei itsessään ole tensorin esitys. Kerrottu objektilla (yhdenmukainen yllä olevan määritelmän kanssa ja on tensori) on tässä tapauksessa merkitty eri kirjaimella ja sitä kutsutaan yleensä tilavuuselementiksi . Seuraamme tässä Levi-Civitan määritelmää. (Tämä huomautus pätee kolmiulotteisen avaruuden lisäksi myös mihin tahansa ulottuvuuteen.) ${\sqrt {g))$ ${\sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Geometrinen tunne

Kuten jo sekatuotteen määritelmästä näkyy, Levi-Civita-symboli liittyy suuntautuneeseen tilavuuteen ja suuntautuneeseen alueeseen, joka esitetään vektorina.

Kolmiulotteisessa (euklidisessa) avaruudessa kolmen vektorin sekatulo

V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}

on suuntaissärmiön suunnattu tilavuus ( pseudoskalaari , jonka moduuli on yhtä suuri kuin tilavuus ja etumerkki riippuu vektorin kolmikon suunnasta) suuntaissärmiössä , joka ulottuu kolmen vektorin ja . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Kahden vektorin vektoritulo

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

on suuntaviivan suuntainen alue, jonka sivut ovat vektoreita ja , jota edustaa pseudovektori, jonka pituus on yhtä suuri kuin alue ja jonka suunta on kohtisuorassa suunnikkaan tasoon nähden . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Tämä merkitys säilyy mille tahansa avaruusulottuvuudelle n , jos tietysti otamme sen sopivalla määrällä indeksejä, tilavuudella ymmärrämme n -ulotteisen tilavuuden ja alueella - ( n − 1) -ulotteisen (hyper- ) alueella. Tässä tapauksessa vastaava kaava sisältää luonnollisesti n ja ( n − 1) vektorit — tekijät. Esimerkiksi 4-ulotteinen (euklidinen) avaruus: $\varepsilon$

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Ominaisuudet

3×3 matriisin A determinantti voidaan kirjoittaa (tässä tarkoitamme standardia ja siten ortonormaalista kantaa ) ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Kahden avaruusvektorin vektoritulo kirjoitetaan tällä symbolilla: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , missä ovat sen komponentit ja ovat kantavektoreita. $c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec {e}}^{i}$
Myös vektorien sekatulo: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
Seuraavassa kaavassa tarkoittaa Kronecker-symbolia : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$
Yhteisen indeksin yhteenveto antaa $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _ {km}.$
Kahden jaetun indeksin tapauksessa tensori romahtaa näin: $i, j$ $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Täällä kaikkialla, ortonormaalin perustan tapauksessa, kaikki indeksit voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa uudelleen alemmiksi.)

Yleistys n mittasuhteen tapaukseen

Levi-Civita-symboli voidaan helposti yleistää mihin tahansa määrään yhtä suurempia ulottuvuuksia käyttämällä indeksipermutaatioiden pariteetin määritelmää :

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt{g}),$ jos joukossa on parillinen permutaatio ${\näyttötyyli (i,j,k,l,\pisteet )}$ $(1,2,3,4,\pisteet );$
	$-{\sqrt{g}),$ jos joukossa on pariton permutaatio ${\näyttötyyli (i,j,k,l,\pisteet )}$ $(1,2,3,4,\pisteet );$
	$0$ jos vähintään kaksi indeksiä ovat samat.

Eli se on yhtä suuri kuin permutaation etumerkki (signum) kerrottuna metriikan determinantin juurella siinä tapauksessa, että indeksit ottavat arvoja, jotka toteuttavat joukon permutaation , ja muissa tapauksissa nolla . (Kuten näet, indeksien lukumäärä on yhtä suuri kuin tilan mitta .) ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\))))$ ${\näyttötyyli (1,2,3,\pisteet ,n)}$ $n$

Jos pseudoeuklidisissa avaruuksissa metriikan allekirjoitus on sellainen, että , sen sijaan tehdään yleensä todellista . $g<0$ $-g$ ${\sqrt {g))$
Kaikissa ulottuvuuksissa, joissa Levi-Civita-symboli on määritelty, se edustaa tensoria (eli lähinnä sitä, että on varmistettava, että symboli-indeksien määrä vastaa tilan ulottuvuutta). Lisäksi, kuten yllä olevasta voidaan nähdä, Levi-Civita-symbolin tavallisessa määrittelyssä voi olla joitain vaikeuksia tiloissa, joissa metristä tensoria ei ole määritelty, tai esimerkiksi tai . $\det {\{g_{ij}\}}=0$ $\det {\{g^{ij}\}}=0$

Voidaan osoittaa, että mittauksilla on samanlaisia ominaisuuksia kuin kolmiulotteisilla: $n$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- mikä johtuu siitä, että joukossa on permutaatioita , ja siksi indekseillä on sama määrä nollasta poikkeavia komponentteja .

n!

{\näyttötyyli (1,2,3,\pisteet ,n)}

\varepsilon

n

$\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\pisteet \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\pisteet \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\pisteet \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\ \end{vmatrix}}.$

Determinantin laajentamisen jälkeen näkyviin tulee kertoja ja vastaaviin Kronecker-symboleihin tehdään yksinkertaistuksia.

n!

Kahden vektorin pseudoskalaaritulo kaksiulotteisessa avaruudessa: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j} .$

Kokomatriisideterminantti voidaan kirjoittaa kätevästi -ulotteisella Levi - Civita-symbolilla $A$ $n\ kertaa n$ $n$ $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

joka on itse asiassa vain determinantin määritelmä (yksi yleisimmistä), joka on kirjoitettu uudelleen tällä symbolilla. Tässä perustan oletetaan olevan standardi, ja nollasta poikkeavat komponentit ottavat arvot .

\varepsilon _{ijk\ldots }

\pm 1

Suora -ulotteinen yleistys kappaleiden ( -ulotteisten) vektorien ristitulosta : $n$ $n-1$ $n$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

missä ovat sen komponentit ja ovat kantavektorit. (Tähän lyhennyksen vuoksi kirjoitamme kovarianttikomponenttien lausekkeen ja kaksoiskannan laajennuksen.)

p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec {f}}^{i}

Suora -ulotteinen yleistys kappaleiden ( -ulotteisten) vektoreiden sekatuloksesta : $n$ $n$ $n$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Indeksoimaton merkintä ( n mittasuhteelle)

Indeksoimattomassa tensorimerkinnässä Levi-Civita-symboli korvataan kaksoisoperaattorilla, jota kutsutaan Hodge-tähdeksi tai yksinkertaisesti tähtioperaattoriksi:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{nk}}}}

(mielivaltaiselle tensorille, kun otetaan huomioon Einsteinin summaussääntö ). $\eta ,$

Katso myös

Linkit

Hermann R. (toim.), Ricci ja Levi-Civitan tensorianalyysipaperit , (1975) Math Sci Press, Brookline (symbolien määrittelyä varten katso s. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Katso kappale 3.5 yleiskatsauksen tensorien soveltamisesta yleisessä suhteellisuusteoriassa ).
Venäjänkielinen käännös: C. Mizner, K. Thorn, J. Wheeler, Gravity . - M . : Mir, 1977 (Katso hakemisto - Levi-Civita tensori).
Dimitrienko Yu. I., Tensorilaskenta , M .: Higher school, 2001. - 575 s.