Symmetrinen toiminto

N: n muuttujan symmetrinen funktio on funktio, jonka arvo millä tahansa argumenttien n - luvulla on sama kuin minkä tahansa tämän n -luvun permutaation arvo [1] . Jos esimerkiksi , funktio voi olla symmetrinen kaikille muuttujille tai pareille , tai . Vaikka se voi viitata mihin tahansa funktioon, jonka n argumentilla on sama toimialue, se viittaa yleisimmin polynomeihin , jotka tässä tapauksessa ovat symmetrisiä polynomeja . Polynomien ulkopuolella symmetristen funktioiden teoria on heikko ja sitä käytetään vähän. Myöskään muuttujien tarkka määrä ei yleensä ole tärkeä, niitä uskotaan olevan yksinkertaisesti melko paljon. Jotta tämä idea olisi tiukempi, projektitiivista rajaa käytetään siirtymään niin sanottuun symmetristen funktioiden renkaaseen , joka sisältää muodollisesti äärettömän määrän muuttujia. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ ${\näyttötyyli (x_{2},x_{3})}$ ${\näyttötyyli (x_{1},x_{3})}$ $\lambda$

Symmetrisaatio

Kun otetaan huomioon mikä tahansa n muuttujan funktio f , jolla on arvot Abelin ryhmässä (eli ryhmässä, jossa on kommutatiivinen operaatio), symmetrinen funktio voidaan rakentaa summaamalla f :n arvot kaikkien argumenttien permutaatioiden perusteella. Vastaavasti antisymmetrinen funktio voidaan rakentaa kaikkien parillisten permutaatioiden summaksi, josta vähennetään kaikkien parittomien permutaatioiden summa. Nämä operaatiot ovat tietysti peruuttamattomia ja voivat johtaa identtiseen nollafunktioon ei-triviaalille funktiolle f . Ainoa tapaus, jossa f voidaan palauttaa, kun funktion symmetrisaatio ja antisymmetrisaatio tunnetaan, on kun n = 2 ja Abelin ryhmä voidaan jakaa 2:lla (kaksinkertaisuuden käänteis). Tässä tapauksessa f on yhtä suuri kuin puolet symmetrisaation ja antisymmetrisoinnin summasta.

Symmetristen funktioiden rengas

Tarkastellaan symmetrisen ryhmän toimintaa polynomirenkaaseen n muuttujassa. Se toimii permutoimalla muuttujia. Kuten edellä mainittiin, symmetriset polynomit ovat juuri niitä, jotka eivät muutu tämän ryhmän elementtien vaikutuksesta. Siten ne muodostavat alarenkaan: ${\displaystyle S_{n))$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n))

Se puolestaan on lajiteltu rengas : $\Lambda _{n}$

{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))

, jossa koostuu homogeenisista symmetrisistä polynomeista, joiden aste on k , sekä nollapolynomista.

{\displaystyle \Lambda _{n}^{k))

Seuraavaksi määritetään projektiivisen rajan avulla asteen k symmetristen funktioiden rengas :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Lopuksi saadaan asteittainen rengas , jota kutsutaan symmetristen funktioiden renkaaksi. ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))$

Huomautukset.

$\lambda$ ei ole projektiivinen raja (renkaiden luokassa). Esimerkiksi ääretön tulo ei sisälly , koska sisältää mielivaltaisen suuren monomiasteen. ${\displaystyle \Lambda _{k))$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
"Determinantilla" ei myöskään ole vastinetta . $(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2}$ $\lambda$

Perusteet symmetristen funktioiden avaruudessa

Monomiaalinen perusta. Jokaiselle osiolle määritellään monomi, joka ei ole symmetrinen polynomi ja sisältää myös vain rajallisen määrän muuttujia, jotka tulevat siihen nollasta poikkeavalla asteella. Summataan nyt siitä kaikista mahdollisilla indeksien permutaatioilla saatu monomijoukko (jokainen monomi summataan vain kerran, vaikka se voidaan saada useilla eri permutaatioilla): . On helppo ymmärtää, että sellaiset, jotka muodostavat perustan , ja siksi kaikki muodostavat perustan , jota kutsutaan monomiaaliksi. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\pisteet )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ ${\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda ))$ $\alpha$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $|\lambda |=n$ ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $\lambda$

Elementaariset symmetriset funktiot. Jokaiselle kokonaisluvulle määritämme — kaikkien mahdollisten tulojen summan r :stä eri muuttujasta. Näin ollen : $r\geq 0$ ${\displaystyle e_{r))$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\pisteet x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

Jokaisen osion alkeissymmetrinen funktio on Ne muodostavat perustan avaruudessa .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

\lambda

Täydelliset symmetriset toiminnot. Jokaiselle kokonaisluvulle määritämme — kaikkien asteen r monomiaalisten funktioiden summan . Näin ollen : $r\geq 0$ ${\displaystyle h_{r))$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Lisäksi, kuten perusfunktioiden tapauksessa, asetamme

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Tehosummat. Jokaisen tehosummaa kutsutaan . $r\geq 1$ ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))$

Osioinnissa tehosumma määritellään seuraavasti $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Identiteetit.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , kaikille k > 0 ,
${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , kaikille k > 0 ,
${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , kaikille k > 0 .

Relaatiot funktioiden luomiseen.

Se on helppo osoittaa $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Myös $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Tästä seuraa suhde $H(t)E(-t)=1$

Lopuksi ,. $P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Meillä menee samalla tavalla . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Schur toimii . Olkoon muuttujia äärellinen määräja sellainen osio, että(osion pituus ei ylitä muuttujien määrää). Tällöin osion Schur-polynomin muuttujassa onhomogeeninen symmetrinen astepolynomi. Kohteessanämä polynomit konvergoivat yhdeksi elementiksi, jota kutsutaan Schur-osiofunktioksi. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))$ $\lambda$ $l(\lambda )\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\rightarrow \infty$ $s_{\lambda }\in \Lambda$ $\lambda$

Jackin toiminnot . Erityisen skalaarituotteen käyttöönotonmyötä Schur-funktiot yleistyvät säilyttäen monet niiden ominaisuudet. $\lambda$

Sovellukset

U-tilastot

Tilastoissa n- otostilasto ( n muuttujan funktio ), joka on saatu bootstrapilla symmetrisoimalla tilasto k elementin otokseen, antaa n muuttujan symmetrisen funktion , jota kutsutaan U-statistiksi . Esimerkkejä ovat otoksen keskiarvo ja otoksen varianssi .

Katso myös

Elementaariset symmetriset polynomit
Kvasisymmetrinen funktio
Symmetristen funktioiden rengas

Muistiinpanot

↑ Van der Waerden, 1979 , s. 121.

Kirjallisuus

Macdonald IG Symmetriset funktiot ja ortogonaaliset polynomit. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 s. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Symmetriset funktiot ja Hall-polynomit. toinen painos. Oxfordin matemaattiset monografiat. Oxfordin tiedejulkaisut. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 s. ISBN 0-19-853489-2 1. painos (määrätön) . – 1979.
McDonald I. Symmetriset funktiot ja Hall-polynomit. -Mir, 1984. - 224 s.
David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function and Allied Tables. - Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Kombinatoriikka: Rota Way. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 s. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Symmetriset funktiot, s. 222–225.
— §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, s. 259-270.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : "Nauka", 1979.
- §33. Symmetriset funktiot, s. 121.