Ryhmän kasvunopeus

Ryhmän kasvunopeus on ryhmäteoriassa ominaisuus, joka näyttää äärellisesti muodostettujen ryhmien kasvunopeuden funktioluokan muodossa, joka yhdistää generoivien elementtien lukumäärän ryhmän järjestykseen . Sen esitteli neuvostoliittolainen matemaatikko Schwartz ( 1955 ) osana tutkimusta yleismaailmallisen peittävän Riemann-avaruuden kasvusta ja itsenäisesti amerikkalainen matemaatikko Milnor ( 1968 ) kompaktien Riemannin monistojen perusryhmien ongelmiin liittyen . kaarevuusrajoitukset [1] .

Määritelmä

Elementtien äärellisen generoiman ryhmän kasvufunktio on funktio , joka antaa kullekin luonnolliselle luvulle sen määrän ryhmän eri alkioita, jotka voidaan esittää korkeintaan muodon tekijöiden tulona . Ryhmän kasvufunktioiden joukkoon otetaan käyttöön ennakkotilaussuhde : jos ja vain jos ja ekvivalenssisuhde : . Kasvufunktioiden ekvivalenssiluokka ei riipu generaattoreiden valinnasta, ja sitä kutsutaan ryhmän kasvuasteeksi . $A=\{a_{1},\dots ,a_{m}\}$ $G$ $\gamma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}^{\pm 1))$ ${\displaystyle \gamma _{1}\preccurlyeq \gamma _{2))$ $\exists (C\in \mathbb {N} )\forall (n\in \mathbb {N} )\gamma _{1}(n)\leqslant \gamma _{2}(Cn)$ ${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}\Leftrightarrow \gamma _{1}\preccurlyeq \gamma _{2}\land \gamma _{2}\preccurlyeq \gamma _{1))$ $[\gamma ]$

Ominaisuudet

Identiteettiryhmän pienin kasvuaste, vapaan ryhmän , jossa on kaksi generaattoria (ja lisäksi minkä tahansa ryhmän, joka sisältää vapaan alaryhmän, jossa on kaksi generaattoria), kasvuaste on [2] . $[2^{n}]$

Jos alkeisryhmä on lähes nilpotentti (eli se sisältää nilpotentin rajallisen indeksin alaryhmän ), niin sen kasvuaste ilmaistaan potenssifunktioilla , muuten eksponentiaalinen . Gromovin lause polynomikasvuryhmistä väittää, että kaikki ryhmät, joiden kasvuaste ilmaistaan potenssifunktiolla, ovat lähes nilpotentteja. Rakennetaan ryhmiä, joiden kasvufunktiot eivät vastaa teho- tai eksponentiaalifunktioita, historiallisesti ensimmäinen tällainen esimerkki on Grigorchukin ryhmä ( 1984 ). Kaikki rajallisesti generoidut subeksponentiaalisen kasvun ryhmät ovat mukautuvia .

Muistiinpanot

↑ Grigorchuk, 1984 .
↑ Yleisalgebra, 1990 , s. 102-103.

Kirjallisuus

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Luku II. Ryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .
Grigorchuk R. I. Äärillisesti muodostettujen ryhmien kasvuasteet ja invarianttien keskiarvojen teoria // Izvestiya AN SSSR. Matemaattinen sarja. - 1984. - T. 48 , nro 5 . - S. 939-985 . - doi : 10.1070/IM1985v025n02ABEH001281 . (Venäjän kieli)