Banachin kiinteän pisteen lause - metrisen geometrian lause, joka takaa kiinteän pisteen olemassaolon ja ainutlaatuisuuden tietylle metristen avaruuksien kartoitusluokalle , sisältää myös rakentavan menetelmän tämän pisteen löytämiseksi. Lause on nimetty Stefan Banachin , puolalaisen matemaatikon mukaan, joka laati tämän väitteen vuonna 1922.
Antaa olla ei-tyhjä täydellinen metriavaruus .
Antaa olla supistuminen kartoitus , Eli on olemassa numero sellainen, että
kaikille _Sitten kartoituksella on ja lisäksi ainutlaatuinen kiinteä piste kohteesta (kiinteä tarkoittaa, että ) [1] .
Lukua kutsutaan usein pakkaussuhteeksi .
Jos luku on 1, eli kuvaus ei ole supistuva, lause ei välttämättä päde .
Otetaan mielivaltainen kiinteä elementti metriavaruudesta ja tarkastellaan sarjaa .
Näin saamme sekvenssin .
Osoittakaamme, että tämä sekvenssi on perustavanlaatuinen . Todellakin:
Vuoteen kolmion epätasa-arvo .
Koska ehdolla , sitten . Tästä seuraa, että for ja any .
Järjestys on siis perustavanlaatuinen .
Avaruuden täydellisyyden vuoksi on elementti , joka on tämän sekvenssin raja .
Todistakaamme se .
Kun kolmion epäyhtälö, . Siitä lähtien sitten kaikille riittävän suurille ja . Koska se on mielivaltainen, tästä seuraa, että , eli , joka oli todistettava.
Osoittakaamme supistumiskartoituksen kiinteän pisteen ainutlaatuisuus . Oletetaan, että on olemassa kaksi erillistä elementtiä siten, että . Sitten . Jos oletetaan, että , niin se seuraa edellisestä, että . Mutta tämä on ristiriidassa ehdon kanssa . Näin ollen olettamuksemme, joka on väärä ja .
Banachin lausetta käytetään differentiaaliyhtälöiden teoriassa ratkaisujen olemassaolon ja ainutlaatuisuuden osoittamiseen tietyille raja-arvoongelmien luokille. Integraaliyhtälöiden teoriassa lausetta käytetään todistamaan ratkaisun olemassaolo ja ainutlaatuisuus 2. tyypin epähomogeeniseen lineaariseen Fredholmin integraaliyhtälöön , toisen tyyppiseen Volterran integraaliyhtälöön ja tietyntyyppisiin epälineaarisiin integraaliyhtälöihin. Lause löytää laajan sovelluksen numeerisissa menetelmissä, kuten Jacobin menetelmässä , Gauss-Seidelin menetelmässä , Newtonin menetelmää voidaan tarkastella myös Banach-lauseen näkökulmasta. Lause on myös löytänyt sovelluksen fraktaaliteoriassa .