Hodge teoria

Hodge - teoria käsittelee tasaisten jakoputkien differentiaalimuotojen tutkimusta . Tarkemmin sanottuna tämä teoria tutkii kuinka yleistetty laplalainen , joka liittyy Riemannin metriikkaan monissa M :ssä, vaikuttaa sen kohemologiaryhmiin todellisilla kertoimilla.

Tämän teorian kehitti William Hodge 1930-luvulla de Rham -kohomologian yleistyksenä . Hodge-teorialla on tärkeitä sovelluksia kolmella tasolla:

Riemannilaiset jakoputket
Kahlerian jakoputket
Monimutkaiset projektiiviset lajikkeet .

Varhaisissa papereissa jakotukin M oletettiin olevan suljettu (eli kompakti ja ilman reunaa). Kaikilla kolmella tasolla teorialla oli suuri vaikutus myöhempään työhön, kun sitä käyttivät Kunihiko Kodaira ja myöhemmin monet muut.

Sovellukset ja esimerkit

De Rham cohomology

Hodge itse muotoili tämän teorian de Rham - komplekseille . Jos M on kompakti orientoituva jakoputkisto, jolla on sileä metriikka g , ja Ω k ( M ) on nippu tasaisia differentiaalimuotoja, joiden asteen k on M , niin de Rham -kompleksi on differentiaalioperaattoreiden sarja

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

jossa d k on ulompi derivaatta kohdassa Ω k ( M ). Tällöin de Rham-kohomologia on yksinkertaisesti vektoriavaruuksien sarja, joka määritellään nimellä

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

On mahdollista määritellä operaattori, joka on konjugoitu muodollisesti ulkoderivaataan (ulkodifferentiaali) d , jota kutsutaan kodifferentiaaliksi ja merkitään yksinkertaisesti vaatimalla, että kaikille α ∈ Ω k ( M ) ja β ∈ Ω k +1 ( M ) $\delta:$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

missä on mittari indusoitu . Nyt laplalainen voidaan määritellä muodossa . Tämä antaa meille mahdollisuuden määritellä harmonisten muotojen tilat: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Se voidaan osoittaa , joten on olemassa kanoninen kartoitus . Hodgen lauseen ensimmäinen osa väittää, että se on vektoriavaruuksien isomorfismi. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ $\varphi$

Yksi tämän pääasiallisista seurauksista on, että de Rham-kohomologiaryhmät kompaktissa monistossa ovat äärellisulotteisia. Tämä johtuu siitä, että operaattorit ovat elliptisiä ja elliptisen operaattorin ydin kompaktissa jakosarjassa on aina äärellisulotteinen. $\Delta$

Hodge-teoria elliptisille komplekseille

Hodge-rakenteet

(todellisten) Hodge-rakenteiden abstrakti määritelmä on seuraava: todelliselle vektoriavaruudelle Hodge-rakenne on on sen kompleksisoitumisen hajoaminen -asteittaiseksi suoraksi summaksi . $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp))

lisäksi monimutkainen konjugaatio ei järjestä arvosteltuja termejä uudelleen ja : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

Pääväite on, että singulaarikohomologiaryhmillä, joilla on ei-singulaarisen kompleksisen projektiivisen moniston todelliset kertoimet, on seuraava Hodge-rakenne: $H^{k}(V,\mathbb{R} )$ $V$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

missä ovat moniston Dolbeault-kohomologiaryhmät . Tämä viittaa Betti-lukujen ja : $H^{{p,q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\sum _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

Hodge-laajennus syntyi alun perin harmonisten muotojen teoriasta (laplalaisen ominaisvektorit differentiaalimuotojen avaruudessa ) yleistäen paikallisesti vakioita harmonisia toimintoja. On todistettu, että jokainen singulaarikohomologian luokka voidaan edustaa ainutlaatuisella harmonisella muodolla ja että sellaisella muodolla on väistämättä hyvin määritelty bigrading (koskeen kompleksisen rakenteen operaattorin toimintaa). Tämä tarkoittaa Hodge-laajennusta. Myöhemmin Hodge-hajotelma saatiin puhtaasti algebrallisesti käyttämällä spektrisekvenssien ja nippukohomologiaryhmien teoriaa Dolbeaultin teoksissa. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

Ei-kompaktien ja singulaarisuutta omaavien jakotukkien tapauksessa on välttämätöntä korvata Hodge-rakenne sekoitetulla Hodge-rakenteella , joka eroaa siinä, että singulaarikohomologian hajoaminen suoraksi summaksi korvataan suodatusparilla . Tätä tapausta käytetään esimerkiksi monodromiateoriassa .

Kirjallisuus

F. Griffiths, J. Harris. Algebrallisen geometrian periaatteet. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 s. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Hodge-teoria ja monimutkainen algebrallinen geometria. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-514-6 .