Topologinen vektoriavaruus

Topologinen vektoriavaruus eli topologinen lineaariavaruus on topologialla varustettu vektoriavaruus , jonka suhteen luvulla yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat jatkuvia . Termiä käytetään pääasiassa funktionaalisessa analyysissä [1] .

Määritelmä

Joukkoa kutsutaan topologiseksi vektoriavaruudeksi, jos [2] [1] $E$

$E$ on vektoriavaruus reaali- tai kompleksilukujen kentän päällä ;
$E$ on topologinen avaruus ;
Summa- ja kertolaskuoperaatiot ovat jatkuvia annetun topologian suhteen, eli $E$
1. jos , niin kullekin pisteen naapurustolle voidaan määrittää tällaiset lähialueet ja pisteet ja vastaavasti, että , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\in U$ $x \ in V$ $y\in W$
2. jos , niin kullekin pisteen naapurustolle on olemassa pisteen naapuruus ja määrä sellainen, että varten ja . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon > 0$ $\alpha x\in U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepsilon$ $x \ in V$

Esimerkkejä

euklidinen avaruus ;
Banach tilaa .

Lineaaristen topologisten avaruuksien tyypit

Tietyistä sovelluksista riippuen lineaarisille topologisille avaruksille asetetaan yleensä joitain lisäehtoja. Jotkin lineaariset topologiset avaruudet on lueteltu alla, ja ne on järjestetty (tietyllä sopimuksella) "hyvien" ominaisuuksien mukaan.

Lokaalikonveksit topologiset vektoriavaruudet (lyhyesti yksinkertaisesti "paikallisesti konveksiavaruuksia"): tällaisissa avaruksissa jokaisella pisteellä on paikallinen kanta , joka koostuu konvekseista joukoista . Ns. Minkowski-funktionaalien avulla voidaan osoittaa, että topologinen vektoriavaruus on paikallisesti konveksi silloin ja vain, jos sen topologia on määritelty seminormiperheellä . Paikallisen kuperuuden ehto on pitkään ollut juuri se konsepti, jonka pohjalta voidaan rakentaa sovellusrikas teoria, koska tiloilla, jotka eivät ole paikallisesti kuperia, voi olla erilaisia patologisia ominaisuuksia ja niiden geometria voi olla liian "luonnollinen" sovelluksille. . Tällä hetkellä teoria paikallisesti rajatuista (yleensä ei-konvekseista) tiloista on kuitenkin alkanut kehittyä aktiivisesti.
Piippuavaruudet : paikallisesti kuperat tilat, joissa yhtenäinen rajausperiaate pätee .
Stereotyyppiavaruudet : paikallisesti kuperat avaruudet, jotka täyttävät refleksiivisyysehdon , jossa kaksoisavaruus on varustettu tasaisen konvergenssin topologialla täysin rajatuissa joukoissa.
Montel-tilat : tynnyritilat, joissa on Heine–Borel-ominaisuus .
Bornologiset avaruudet : paikallisesti konveksiavaruuksia, joissa jatkuvat lineaarioperaattorit, joiden arvot ovat paikallisesti konveksiavaruuksia, ovat täsmälleen rajattuja lineaarisia operaattoreita.
LF-avaruudet : LF-avaruus on Fréchet-avaruuksien induktiivinen raja . ILH-avaruudet ovatHilbert -avaruuksien projektitiivisia rajoja .
F-avaruudet : täydelliset topologiset vektoriavaruudet, joissa on invariantti (siirtymien alle) metriikka. Erityisesti kaikki avaruudet L p (p > 0) ovat sellaisia.
Fréchet -avaruudet: paikallisesti konveksiavaruuksia, joiden topologia on annettu jollain siirtoinvarianttimetriikalla tai vastaavasti laskettavalla seminormien perheellä. Fréchet-tilan käsite on yksi Banach-tilan käsitteen tärkeimmistä yleistyksistä. Monet kiinnostavat toimintotilat ovat Fréchet-tiloja. Fréchet-avaruus voidaan määritellä myös paikallisesti konveksiksi F-avaruudeksi.
Ydintilat : tärkeä Fréchet-tilojen erikoistapaus; ydinavaruudessa jokainen rajattu kartoitus mielivaltaisen Banach-avaruuden arvoilla on ydinoperaattori . Ydintilat, kuten Banach-tilat, ovat Frechet-tiloja, joista suurin kiinnostus on. Tässä tapauksessa ydin- ja Banach-avaruuksien luokat leikkauspisteessä muodostavat äärellisulotteisten avaruuksien luokan.
Normoidut avaruudet : lokaalikonveksit avaruudet, joiden topologia on normin mukainen . Normoituihin avaruuteen vaikuttavat lineaariset operaattorit ovat jatkuvia, jos ja vain jos ne ovat rajoitettuja.
Banach-tilat : täydelliset normaalit tilat. Ne ovat klassisen funktionaalisen analyysin tutkimuksen kohteena; useimmat analyysin lauseet on muotoiltu juuri Banach-avaruuksia varten.
Refleksiiviset Banach-välit : Banach-avaruudet , jotka ovat luonnollisesti isomorfisia toisen konjugaation kanssa .
Hilbert-avaruudet : Banach-avaruudet, joiden normin muodostaa sisätulo ; huolimatta siitä, että nämä avaruudet voivat olla äärettömän ulottuvia, niiden geometriset ominaisuudet ovat hyvin lähellä äärellisulotteisten avaruuden ominaisuuksia.
Euklidiset avaruudet : äärellisulotteiset Hilbert-avaruudet. Jokainen paikallisesti kompakti Hausdorffin topologinen vektoriavaruus on isomorfinen (topologisena vektoriavaruutena) johonkin euklidiseen avaruuteen.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Topologinen vektoriavaruus // Mathematical Encyclopedic Dictionary / ch. toim. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - s. 582
↑ Kerin S. G. Funktionaalinen analyysi. - M., Nauka , 1972. - s. 19-21

Kirjallisuus

Shefer H. Topologiset vektoriavaruudet. - M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Topologiset vektoriavaruudet. — M.: Toim. ulkomaalainen lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Topologiset vektoriavaruudet. - M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Analyysi topologisista lineaarisista avaruksista ja sen sovelluksista : oppikirja. korvaus. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1979. - 86 s.