Pyöristyspiste

Pyöristyspiste ( ympyräpiste , napapiste tai napapiste ) on piste tasaisella säännöllisellä pinnalla euklidisessa avaruudessa , jossa normaalit kaarevat kaikkiin suuntiin ovat yhtä suuret.

Nimi " umbicus " tulee ranskan sanasta "ombilic", joka puolestaan tulee latinan sanasta "umbicus" - "naba".

Ominaisuudet

Pyöristyspisteessä:

pinnan pääkaarevuus on sama.
Pinnan ensimmäinen neliömuoto ja toinen neliömuoto ovat verrannollisia.
mikä tahansa tangentin suunta on pääsuunta .
Koskettava paraboloidi on vallankumouksen paraboloidi .
Dupinin indikaattori on ympyrä .
Kaarevuusviivojen verkostolla (eli viivoilla, jotka tangentit kussakin pisteessä jotakin pinnan pääsuunnasta) on ominaisuus [1] .
Mikä tahansa pyöristyspiste on joko elliptinen piste pinnalla (jos pääkaarevuus on nollasta poikkeava, joten pinnan Gaussin kaarevuus kyseisessä pisteessä on positiivinen) tai ns. tasainen pyöristyspiste (jos pääkaareet ovat nolla, ja siten Gaussin kaarevuus ja pinnan keskimääräinen kaarevuus ovat nolla tässä pisteessä). Ensimmäisessä tapauksessa pyöristyspisteen pienessä ympäristössä pinta näyttää pallolta, ja toisessa tapauksessa se näyttää tasolta.

Esimerkkejä

Euklidisessa avaruudessa metriikassa : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Koko pallo koostuu elliptisistä pyöristyspisteistä.
Kolmiakselisella ellipsoidilla (jossa on pareittain erilliset akselit) on täsmälleen neljä pyöristyspistettä, jotka kaikki ovat elliptisiä ja "sitruuna"-tyyppisiä.
Koko taso koostuu tasaisista pyöristyspisteistä.
Apinan satulassa on eristetty tasainen pyöristyspiste origossa.

Hypothesis of Carathéodory

Carathéodory arveli, että jokaisella riittävän tasaisella suljetulla kuperalla pinnalla M kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on vähintään kaksi pyöristyspistettä . Tämä olettamus todistettiin myöhemmin sillä lisäoletuksella, että pinta M on analyyttinen [2] [3] .

Yleistys

Olkoon tasainen mielivaltaisen ulottuvuuden monisto korkeamman ulottuvuuden euklidisessa avaruudessa. Sitten kussakin pisteessä määritellään tangenttikimppuun annetun ensimmäisen ja toisen neliömuodon parin ominaisarvot . Pistettä kutsutaan napaksi , jos joukossa on vähintään kaksi vastaavaa numeroa. Napajoukolla on koodiulottuvuus 2, eli se on annettu kahdella riippumattomalla yhtälöllä. [4] Siten navan pisteet yleisellä pinnalla ovat eristettyjä ( ), kun taas geneerisellä 3-jaostolla ne muodostavat käyrän ( ). $M$ $n\geq 2$ $x\in M$ $n$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $TM$ $x\in M$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $M$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Kirjallisuus

Toponogov VA Kaarien ja pintojen differentiaaligeometria. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Differentiaaligeometrian kurssi, - Mikä tahansa painos.
Finikov S.P. Differentiaaligeometrian kurssi, - Mikä tahansa painos.
Finikov S.P. Pintojen teoria, mikä tahansa painos.
Porteous IR Geometric Differentiation käyrien ja pintojen älykkyyteen - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik DJ -luennot klassisesta differentiaaligeometriasta, - Addison Wesley Publ. Co., 1950. Uusintapainos Dover Publ., Inc., 1988.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Remizov A. O. Moniulotteinen Poincare-konstruktio ja implisiittisten differentiaaliyhtälöiden nostettujen kenttien singulaaruudet, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Carathéodoryn analyyttinen hypoteesi, Sib. matematiikka. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät, - Mikä tahansa painos. (Liite 10. Luonnontaajuuskertoimet ja parametririippuvaiset ellipsoidit).