Trackl on graafin upottaminen tasoon siten, että jokainen reuna on Jordan-käyrä ja jokainen reunapari esiintyy kerran. Reunat voivat kohdata joko yhteisen päätepisteen tai, jos niillä ei ole yhteisiä päätepisteitä, sisäpisteissä. Jälkimmäisessä tapauksessa leikkauspisteen on oltava poikittaissuuntainen [1] .
Lineaarinen raita – suorilla osilla piirretty raita. Pal Erdős havaitsi, että millään lineaarisella radalla ei ole enempää reunoja kuin kärkipisteitä. Erdős huomasi, että jos kärki v on yhdistetty kolmeen tai useampaan reunaan vw , vx ja vy lineaarisessa radassa, niin ainakin yksi näistä reunoista on kaksi muuta reunaa erottavalla viivalla. Yleisyyden menettämättä oletetaan, että vw on sellainen reuna , ja pisteet x ja y sijaitsevat suoran vw rajoittamien suljettujen puoliavaruuksien vastakkaisilla puolilla. Tällöin kärjellä w täytyy olla aste yksi, koska millään muulla reunalla kuin vw ei voi olla yhteisiä pisteitä sekä vx :n että vy :n kanssa . W :n poistaminenjäljestä antaa pienemmän jäljen muuttamatta särmien ja kärkien lukumäärän eroa. Toisaalta, jos jollakin kärjellä on korkeintaan kaksi naapuria, niin kättelylemman mukaan reunojen määrä ei ylitä kärkien määrää [2] . Erdősin todistuksen perusteella voidaan päätellä, että mikä tahansa lineaarinen jälki on pseudometsä . Mikä tahansa pariton sykli voidaan muuntaa lineaariseksi radaksi, mutta tämä ei ole mahdollista parillisen pituisille sykleille, koska jos valitset mielivaltaisen reunan, muiden kärkien on sijaittava vuorotellen tämän reunan vastakkaisilla puolilla.
Micha Perles esitti toisen yksinkertaisen todisteen siitä, että lineaarisella radalla on enintään n reunaa perustuen siihen, että lineaarisessa radassa millä tahansa reunalla on päätepiste, jossa kaikki reunat ovat kulman sisällä, enintään 180°, jolle annettu reuna on alkukirjain (myötäpäivään katsottuna). Jos näin ei ole, on oltava kaksi reunaa, jotka osuvat reunan vastakkaisiin päätypisteisiin ja sijaitsevat sen linjan vastakkaisilla puolilla, jolla reuna sijaitsee. Nämä reunat eivät leikkaa toisiaan, mutta tämä on mahdollista vain yhden kärjen viereisillä reunoilla [3] .
Erdős huomasi myös, että pisteparien joukon, jossa pistejoukon halkaisija saavutetaan, täytyy olla lineaarinen kulkurata - kahdella halkaisijalla ei voi olla yhteisiä pisteitä, koska näiden halkaisijoiden neljän pään joukossa on silloin oltava kaksi pistettä. halkaisijaa suuremmalla etäisyydellä. Tästä syystä missä tahansa tason n pisteen joukossa voi olla enintään n diametraalista paria, mikä vastaa Heinz Hopfin ja Erica Panwitzin vuonna 1934 esittämään kysymykseen [4] . Andrew Vashoni arveli rajat diametraaliparien lukumäärälle korkeammissa ulottuvuuksissa yleistäen ongelman [2] .
Laskennallisessa geometriassa pyörivää paksuutta voidaan käyttää lineaarisen radan saamiseksi mistä tahansa pistejoukosta kuperassa asennossa yhdistämällä pistepareja, joita tukevat rinnakkaiset viivat, jotka tangentit pisteiden kuperaa runkoa . Tämä kaavio sisältää halkaisijapisteiden jäljen aligraafina [5] . Lineaaristen jälkien numeroinnin avulla voidaan ratkaista yksikköhalkaisijaltaan suurimman polygonin ongelma, eli ongelma löytää n - kulmio, jonka pinta-ala on suurin suhteessa sen halkaisijaan [6] .
John Conway arveli, että missään raidassa reunojen määrä ei ylitä kärkien määrää. Conway itse käytti termejä polut (polut) ja spotit (pisteet) ( reunojen ja kärkien sijaan ).
Vastaavasti arvelu voidaan muotoilla uudelleen, koska mikä tahansa jälki on pseudometsä . Tarkemmin sanottuna, jos jälki-arvaus pitää paikkansa, ilmoitusten omistajuus voidaan ilmaista tarkasti Woodallin tuloksella - nämä ovat näennäismetsiä, joilla ei ole 4 pituisia jaksoja ja joissa on vähintään yksi pariton kierto [1] [7] .
On todistettu, että missä tahansa muussa syklisessä graafissa kuin C 4 :ssä on jälkiupotus, mikä osoittaa, että olettamus on tiukka siinä mielessä, että on jälkiä, joissa kärkien lukumäärä on yhtä suuri kuin reunojen lukumäärä. Toinen ääritapaus, jossa kärkien lukumäärä on kaksi kertaa reunojen lukumäärä, on myös saavutettavissa.
Tiedetään, että olettamus pätee radalla, joka on piirretty siten, että mikä tahansa reuna on x - monotoninen käyrä, joka leikkaa korkeintaan kerran millä tahansa pystysuoralla viivalla [3] .
Lovas, Pach ja Szegedy [8] osoittivat, että mikä tahansa kaksiosainen jälki on tasograafi , vaikka sitä ei ole piirretty tasomuodossa [ 1] . Seurauksena he osoittivat, että millä tahansa trekleä edustavalla graafilla, jossa on n kärkeä, on enintään 2n − 3 reunaa. Sen jälkeen rajaa on paranneltu kahdesti. Sitä parannettiin ensin arvoon 3( n − 1)/2 [9] , ja viimeinen tunnettu raja on noin 1,428 n [10] . Lisäksi tuloksen saamiseksi käytetty menetelmä tuottaa mille tahansa ε > 0:lle äärellisen algoritmin, joka joko parantaa (1 + ε) n :n sidosta tai kumoaa olettamuksen.
Tiedetään, että jos olettamus on epätosi, pienin vastaesimerkki olisi parillisten syklien pari, jolla on yhteinen kärki [7] . Näin ollen olettamuksen todistamiseksi riittää todistaa, että tämän tyyppisiä kaavioita ei voida piirtää jälkiviivoiksi.