Toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. huhtikuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 16 muokkausta .

Toisen tyyppiset Lagrangen yhtälöt ovat mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöitä , jotka on saatu soveltamalla Lagrangin formalismia .

Yhtälöiden tyyppi

Jos holonomista mekaanista järjestelmää kuvaa Lagrange ( ovat yleistettyjä koordinaatteja , t on aika , piste tarkoittaa differentiaatiota ajan suhteen ) ja järjestelmässä vaikuttavat vain potentiaaliset voimat , niin toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt ovat muotoa $L(q_{i},{\piste q}_{i},t)$ $q_{i}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0

jossa i = 1, 2, … n ( n on mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä). Lagrangian on ero järjestelmän kineettisen ja potentiaalisen energian välillä.

Sekä potentiaalisten ( ) että ei-potentiaalisten ( ) yleistettyjen voimien läsnä ollessa oikea puoli näkyy: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}

Ei-potentiaalisia voimia ovat esimerkiksi kitkavoima . Tässä tapauksessa toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen hieman eri muodossa:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

missä on järjestelmän liike-energia , on yleinen voima . $T(q_{i},{\piste q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Yhtälöiden johtaminen

Lagrangen yhtälöt mekaniikassa saadaan Eulerin dynamiikan laeista (liikemäärän ja liikemäärän tasapaino) tietyin järjestelmän rajoituksin: siinä saa olla vain ihanteellisia holonomisia rajoituksia. Tämä on erityinen, vaikkakin erittäin tärkeä tapaus mekaanisista järjestelmistä. Muissa tapauksissa saadaan Lagrange-yhtälöiden muunnelmia [1] .

Jos vähiten toiminnan periaate on relevantti tarkasteltavalle järjestelmälle (kaikki eivät kaikki fyysiset järjestelmät tottele sitä), johtopäätös voidaan tehdä toisin. Lagrangian mekaniikassa yhtälöiden johtaminen tapahtuu tämän periaatteen pohjalta, jonka mukaan todelliset liikkeet eroavat kaikista kuviteltavista sillä ehdolla, että funktionaalinen

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\piste q}_{i},t)dt

kutsutaan toiminnaksi , ottaa äärimmäisen (riittävän pienelle - minimaalisen) arvon järjestelmän todellisen liikkeen liikeradalla ( ja - ajan alku- ja loppuhetkellä ) [2] . Soveltamalla toimintofunktionaaliin standardioptimointikaaviota saadaan sille Lagrange-Euler-yhtälöt , joita kutsutaan mekaanisen järjestelmän toisen tyyppisiksi Lagrange-yhtälöiksi. Alla on yhtälön johtaminen järjestelmälle, jolla on yksi yleistetty koordinaatti ja nopeus. ${\näyttötyyli t_{2}-t_{1}}$ ${\näyttötyyli t_{1))$ ${\näyttötyyli t_{2))$

Oletetaan, että vaihtelu rajoilla on nolla:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Muuta tilasta siirtymisen toiminto Kyllä $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\piste q}+\delta {\piste q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\piste q},t)dt

Laajentamalla tätä tehoeroa saamme:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\piste q},t)dt

Vaihtelemalla tätä lauseketta saamme:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\partial L}{\partial q))\delta q+{\frac {\partial L}{\ osittainen {\piste q))}\delta {\piste q}\oikea)dt=0

Huomaa , että integroimme toisen termin osittain: $\delta {\piste q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

Ensimmäinen termi on yhtä kuin nolla aivan ensimmäisen johtamiskaavan perusteella. Toinen termi voi olla nolla vain, jos integrandi on yhtä suuri kuin nolla. Siten saamme halutun Lagrange-yhtälön:

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0

Katso myös

Ensimmäisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt

Muistiinpanot

↑ Butenin B.V. Johdatus analyyttiseen mekaniikkaan. - M .: Nauka, 1971. - Levikki 25 000 kappaletta. - s. 56 - 59
↑ Medvedev B.V. Teoreettisen fysiikan alku. Mekaniikka, kenttäteoria, kvanttimekaniikan elementit. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Levikki 2000 kappaletta. - S. 19 - 23